suites

[kaderben]

Bonjour

a est un réel non nul fixé.
la suite U est définie par:
U0=a et pour n dans IN U(n+1)=exp(2U(n))-exp(U(n)).
g est définie sur IR par g(x)=exp(2x)-exp(x)-x
Donc g(U(n))=U(n+1)-U(n).

Etude des variations de g puis de U

g'(x)=(exp(x)-1)(2exp(x)+1)

Alors g décroissante sur]-oo;0] et croissante sur [0;+oo[
g>=0 sur IR et le minimum est zero atteint en zéro
Puisque g(U(n))=U(n+1)-U(n) alors U(n+1)-U(n)>=0, donc U est croissante.

a<=0
Démontrer par recurrence que U(n)<=0 pour tout n.

Je l'ai fait en utilisant U(n+1)=exp(2U(n))-exp(U(n))=exp(U(n))(exp(U(n))-1)

Mais j'ai voulu le faire autrement et je n'y arrive pas

U0 = a et a<=0 donc vrai
Supposons que U(n)<=0 pour tout n.

g(U(n)>=g(0) car g décroissante sur ]-oo;0]
donc U(n+1)-U(n)>=0
tout simplement j'obtient que U(n+1)>=U(n) mais pas U(n+1)<=0

Merci pour vos commentaires
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[gg0]

Bonjour.

Tu as une propriété évidente (ou presque) et une démonstration. Inutile d'en faire une deuxième.
Et si tu pensais faire une preuve par récurrence, c'est bien raté :
"Supposons que U(n)<=0 pour tout n" ??? Tu supposes la conclusion de la démonstration vraie ? Dans ce cas, tu en déduis "U(n)<=0 pour tout n". Et tu as montré que si U(n)<=0 pour tout n alors U(n)<=0 pour tout n; ce qui nous fait une belle jambe.

En conclusion, inutile de perdre ton temps sur cette preuve, puisqu'elle est faite. Par contre, revois ce qu'est une preuve par récurrence (manifestement tu n'as pas compris) et rappelle-toi qu'il ne sert à rien de faire une récurrence quand on a une preuve immédiate.

Cordialement.

[kaderben]

Bpnjour ggO

Et si tu pensais faire une preuve par récurrence, c'est bien raté :
"Supposons que U(n)<=0 pour tout n" ??? Tu supposes la conclusion de la démonstration vraie ? Dans ce cas, tu en déduis "U(n)<=0 pour tout n". Et tu as montré que si U(n)<=0 pour tout n alors U(n)<=0 pour tout n; ce qui nous fait une belle jambe.

Je n'ai rien compris à ta remarque

Une démonstration par recurrence se fait en trois étapes:
a) Initialisation: montrer qu'elle est vraie au premier rang
b) poser l'hypothèse de recurrence: on suppose que l'hypothèse est vraie au rang n
c) démontrer l'hérédité: démontrer qu'elle est vraie au rang (n+1)
Je l'ai toujours appris comme ça.

Si ce n'est pas ça, j'aimerai bien que tu me corriges.

[gg0]

Tout à fait d'accord !

"b) poser l'hypothèse de recurrence: on suppose que l'hypothèse est vraie au rang n"
tu as écrit (message #1) :
"Supposons que U(n)<=0 pour tout n."
Ce n'est pas la même chose, et "U(n)<=0 pour tout n." est exactement ce qu'on veut prouver !

[A voir en vidéo sur Futura]

[kaderben]

Bonjour

Ceci étant dit, j'ai saisi tes conseils:

Tu as une propriété évidente (ou presque) et une démonstration. Inutile d'en faire une deuxième.

Ce n'est ni un devoir à rendre ni une copie...Tout simplement, par curiosité, j'ai voulu utiliser la fonction g pour démontrer cette recurrence mais je n'y arrive pas comme tu l'as constaté.

Alors je me demande ou bien je me suis mal pris ou bien c'est impossible!
Que pense tu ?

[gg0]

A priori,

la définition récurrente de la suite ne donne pas une preuve de signe autre que celle que tu as écrite : Une récurrence qui utilise u_n<0 pour justifier u_n+1<0.
Tu as essayé une autre piste, elle n'aboutit pas. Que veux-tu, ce n'est pas en prenant un chemin qu'on est sûr d'arriver où on veut; encore faut-il qu'il y emmène.

Donc j'espère que tu as rédigé correctement ta preuve par récurrence :
u0<0
Supposons que pour un entier n, u_n<0
... donc u_n+1<0
Donc, par récurrence, pour tout n on a u_n<0.

Cordialement.