Limite d'une suite - Démonstration d'une propriété (1S)

[MademoiselleSakura]

Bonjour,



Soit (un) une suite définie par (un) = a^n (avec a > 0 et n un entier naturel).

Si a appartient à ] 0 ; 1 [ alors (un) est convergente vers 0.

Démontrons-le.

On sait pour tout réel t de ] 0 ; 1 [, t^n > t^(n+1). En effet, sur cet intervalle, t^2 > t^3 (cf. les fonctions puissances).

Ainsi, plus la puissance augmente, plus on se rapproche de 0. Par ailleurs, on sait que multiplier n fois par un réel m compris dans ] 0 ; 1 [ par lui-même revient à revient à le diviser par n.

Exemple : 0,7*0,7 = 0,7^2 = 0,7/2 = 0,49.

Ainsi, plus le diviseur est élevé, plus le quotient se rapprochera de 0.

On en déduit : lim(n --> +oo) a = 0.

On a donc la suite (un) qui converge vers 0 lorsque a appartient à ] 0 ; 1 [.


Merci de me corriger s'il y a des erreurs.
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[PlaneteF]

Bonjour,

Ainsi, plus le diviseur est élevé, plus le quotient se rapprochera de 0.

Cela ne prouve en rien que la limite est .

Cordialement

[PlaneteF]

...

Je précise un peu plus :

Tu as justifié que cette suite était décroissante, ... par ailleurs elle est manifestement minorée. La conclusion que tu peux en tirer c'est que la suite est convergente, ... mais cela ne te donne pas la valeur de sa limite.

Cdt

[gg0]

Une énormité :

Par ailleurs, on sait que multiplier n fois par un réel m compris dans ] 0 ; 1 [ par lui-même revient à revient à le diviser par n.

Exemple : 0,7*0,7 = 0,7^2 = 0,7/2 = 0,49.

2 fois 0,49 ça fait 0,98, pas 0,7 !!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[MademoiselleSakura]

...

Je précise un peu plus :

Tu as justifié que cette suite était décroissante, ... par ailleurs elle est manifestement minorée. La conclusion que tu peux en tirer c'est que la suite est convergente, ... mais cela ne te donne pas la valeur de sa limite.

Cdt

Comment montrer la limite d'une suite dans ce cas ?

Voici ce qui est écrit dans une correction d'exercice :

"Les suites [...] tendent vers 0 quand n tend vers +OO, autrement dit leur limite est égale à 0 quand n tend vers +OO."

[MademoiselleSakura]

On sait pour tout réel t de ] 0 ; 1 [, t^n > t^(n+1). En effet, sur cet intervalle, t^2 > t^3 (cf. les fonctions puissances).

Ainsi, plus la puissance augmente, plus on se rapproche de 0.
On déduit de cela que lorsque n tend vers +OO, la suite converge vers 0.

Or, n continuera de tendre vers +OO sans jamais l'atteindre.

On en déduit : lim(n --> +oo) a = 0.

On a donc la suite (un) qui converge vers 0 lorsque a appartient à ] 0 ; 1 [.

[gg0]

Réponse au message #5:

Il faut montrer ici que la suite devient plus petite que tout nombre strictement supérieur à 0. Comme elle est positive, on tombe sur la définition de la limite d'une suite. La connais-tu ?

[MademoiselleSakura]

Par ailleurs, il est bien marqué "tend vers 0" dans la propritété et le mot "limite" n'apparaît pas, mais le fait que cette suite tende vers 0 prouvait que sa limite était 0, d'après le cours.

[MademoiselleSakura]

Réponse au message #5:

Il faut montrer ici que la suite devient plus petite que tout nombre strictement supérieur à 0. Comme elle est positive, on tombe sur la définition de la limite d'une suite. La connais-tu ?

Je te cite celle que j'ai dans mon cours.


On dit qu'une suite admet une limite l (ou converge vers l) lorsque tout intervale ouvert centré en l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain indice.

[gg0]

Réponse au message #6 :

Ton raisonnement est faux : Il s'applique à la suite Un=1/2+1/n
"plus n augmente, plus Un se rapproche de 0. "
Pourtant cette suite ne tend pas vers 0.

On ne peut pas conclure à partir de "suite positive" et "suite décroissante" que la suite tend vers 0. Réfléchis un peu ....

[MademoiselleSakura]

Réponse au message #6 :

Ton raisonnement est faux : Il s'applique à la suite Un=1/2+1/n
"plus n augmente, plus Un se rapproche de 0. "
Pourtant cette suite ne tend pas vers 0.

C'est pourtant ce qui est écrit dans mon cours pour a de ] 0 ; 1 [.

On ne peut pas conclure à partir de "suite positive" et "suite décroissante" que la suite tend vers 0. Réfléchis un peu ...

La fonction qui lui est associée tend vers 0 pour tout x de ] 0 ; 1 [, de là j'en déduis qu'il en est de même pour la suite.

[gg0]

Je ne sais pas ce qu'il y a dans ton cours. mais tu as dit que tu voulais démontrer que cette suite tend vers 0. Puis tu as écrit un texte qui nest pas une démonstration; seulement une affirmation que tu es convaincue du résultat; normal, c'est un résultat de ton cours, à priori, tu peux avoir confiance; mais ça n'en fait pas une démonstration.
On a essayé de te montrer où ta démonstration "coince"; tu n'as pas l'air de vouloir essayer de comprendre, on n'a pas de raison de continuer.

Tant pis pour toi.

NB : "C'est pourtant ce qui est écrit dans mon cours pour a de ] 0 ; 1 [." aucun rapport avec ce que tu copies. Sais-tu lire ? Alors lis.

[PlaneteF]

La fonction qui lui est associée tend vers 0 pour tout x de ] 0 ; 1 [, de là j'en déduis qu'il en est de même pour la suite.

Pourrais-tu expliciter la fonction dont tu parles stp, ... parce que sans cela, ton "pour tout x de ] 0 ; 1 [" ne veut pas dire grand chose.

Cdt

[Dizord]

Pourquoi ne pas dire que finalement, est équivalent et ?
On montre facilement au préalable que converge (décroissante et minorée).
Puis on pose donc et on peut trouver facilement la limite de comme est continue sur et par unicité de la limite d'une suite.

[gg0]

Bonjour.

En première S ? C'est au programme ?

Cordialement.

[Dizord]

En première S, on aborde à peine la notion de limite, alors de toute manière, tout est hors-programme là...
À y réfléchir, je crois même que ce n'est même plus au programme de 1S et que tout est vu en TS. Je me souviens juste que notre prof nous avez introduit la notion, mais on avait vu toutes les définitions de limites en TS.