Bonjour , Bonsoir ,
Voilà mon problème : en faisant des exos de maths pour passer le temps je suis tombée sur l'énoncé suivant :
Montrer que pour n , entier naturel : n3 + n²+ 1 n'est jamais divisible par 5
J'ai donc commencé à faire un raisonnement par l'absurde , ce qui me semblait le plus approprié mais finalement je suis coincée et j'ai l'impression que ça ne mène à rien , pouvez vous m'aidez ?
Salut,
une bonne idée aurais été de poster ton raisonnement par l'absurde...
Sinon, connais-tu les congruences ?
@+
Je viens de commencer les congruences , mais je n'y avais pas pensé du tout ; merci du conseil , je vais tester ça de suite
pour ce qui est du raisonnement par l'absurde , je ne pense pas qu'il soit bien utile de montrer ça ...
Je crois que je suis un peu entêtée mais j'ai refait un raisonnement par l'absurde avec les congruences tel que :
on admet que n3+n²+1 est divisible par 5 donc n3+n²+1 est congru à 0 modulo 5
Après comme je commence juste les congruences je ne sais pas trop si mon étape suivante est juste :
n3+n²+1 congru à 0 modulo 5 est l'équivalent de n3 congru à 0 modulo 5 ou n² est congru à 0 modulo 5 ou 1 est congru à 0 modulo 5
Or 1 congru à 0 modulo 5 est faux donc la proposition de départ est fausse ??
Non, c'est complétement faux !Envoyé par MarieBx
Tu pourrais très bien avoir n cube congru à 0 et n carré à -1, de sorte que la somme est bien congru à 0 mod 5. [Attention ceci est surement faux aussi...]
Avec des congruences "normales" cela se fait très bien en 30s.
ok ok -_-
Je me disais bien que c'était trop beau pour être vrai , je crois que je vais attendre d'avoir avancé dans les congruences parce que pour l'instant je n'ai qu'une petite formule de base mais merci quand même
Y'a besoin de rien savoir à part que si a est congru à b mod n et c est congru à d mod n alors... a+c est congru à b+d mod n.
Là, il suffit d'y aller mollo et ca vient tout seul.
Bonsoir,
Je me permets de vous montrer une manière simple d'aborder les congruences :
vous poser n = 5k + r , ainsi le reste r ne peut prendre que des valeurs de 0 à 4
vous développez n3 + n2 + 1 avec cette valeur
dans l'expression il n'y que des multiples de 5 + r3 + r2 +1
il suffit alors de tester les 5 valeurs de r possibles.
Comprendre c'est être capable de faire.
J'ai déjà vu cette méthodepar contre je ne savais pas qu'elle avait un rapport avec les congruences puisqu'on nous l'a présentée dans le cadre de la division euclidienne .
En tout cas merci puisque j'ai la réponse grâce à vous , je démontre bien ce qu'on cherchait . Passez une bonne soirée
( Par contre , je suis désolée mais l'autre méthode ... j'ai un peu de mal )
C'est bon , j'ai compris le rapport avec les congruences !!
Merci à tous les deux
bonjour
on suppose qu'il existe x tel que $x^3+x²+1=0 mod 5$ on sait de plus que $x^5=x mod 5$
en multipliant par $x^2$ on a $x^5+x^4+x^2=0$ donc $ x+x^4+x^2=0$ puis par x $x^2+x-x^2-1=0$ donc $x=1$ impossible
