Fonction opposée, paire, impaire : symétries

[invite949a348a]

Bonjour à tous,


1)Soit une fonction f définie sur un intervalle I de R. Comment prouver que la représentation graphique (r.g) de la fonction g : x-> -f(x) et la r.g de f sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses ?

2)Comment prouver que pour la r.g d'une fonction f paire, on a une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées ?

3) Comment prouver que pour la r.g d'une fonction f impaire, on a une symétrie par rapport à l'origine du repère ?

Merci
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[gg0]

Bonjour.

Dans les trois cas, il suffit de partir du fait que le point courant de la courbe de f est M(x, f(x)). Par exemple pour la première, comparer les points M(x,f(x)) et N(x, -f(x)).

Bon travail !

[invite949a348a]

Merci gg0

je vois bien l'explication graphique, mais je voudrais le montrer "algébriquement".

[gg0]

Mais c'est ce que je te propose !!
N'importe comment, tu ne peux pas éliminer la géométrie, puisque tu parles de courbes. Je t'ai proposé de la restreindre à la définition algébrique de la courbe. Etbien sûr, à la traduction algébrique des symétries.

Après, si tu ne veux pas faire la preuve toi-même, comme elle est dans plein de documents mathématiques (cours, polycops, pdf, ...), tu la trouveras facilement. Mais ça ne sert à rien si on n'essaie pas soi-même.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite949a348a]

Je suis bien d'accord avec toi, ça ne sert à rien si on ne fait pas par soi-même

C'est juste que la "démonstration" me paraît du coup immédiate : les points M(x,f(x)) et N(x, -f(x)) sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, on le "voit". Et je n'ai pas l'impression de le démontrer en disant ça mais : ça suffit ?

[gg0]

Pourquoi une preuve devrait-elle être compliquée ?
Ici, on applique la définition de courbe plus la propriété des coordonnées de points symétriques par rapport à Ox.
D'ailleurs, peux-tu rappeler ces trois théorèmes sur les coordonnées de 2 points symétriques par rapport
* à O
* à Ox
* à Oy ?
Bien évidemment en termes algébriques.

Cordialement.

[invite949a348a]

Edit après un peu plus de réflexion ^^ :
2 points M(x1 , y1) et N(x2 , y2) sont symétriques par rapport à 0 <=> x2 = - x1 et y2 = - y1
2 points M(x1 , y1) et N(x2 , y2) sont symétriques par rapport à 0x <=> x2 = x1 et y2 = - y1
2 points M(x1 , y1) et N(x2 , y2) sont symétriques par rapport à 0y <=> x2 = - x1 et y2 = y1

C'est juste ?

[gg0]

Oui, c'est bien ça.

Ce sont des évidences, mais ça peut se démontrer à partir des définitions des symétries et des propriétés de base en géométrie analytique (essentiellement coordonnées du milieu d'un segment).