Résolution d'un système d'équations modulaires (ou théorème du reste chinois)

[Voltax]

Bonjour, je viens d'arriver sur le forum aujourd'hui en quête d'une réponse à cette question : " Peut-on résoudre un système d'équations modulaires algébriquement ? "

En fait, supposons l'équation modulaire suivante : . Autrement dit, (avec ).
Et, je voudrais savoir s'il existe une méthode pour résoudre l'équation algébriquement.
Dans ce cas-ci, une méthode assez évidente serait de résoudre cette équation diophantienne. Ceci est simple.

Cependant, supposons à présent un système de 2, 3, 4 ... équations modulaires.
Est-il encore possible de le résoudre algebriquement ?

J'attends avec impatience vos réponses !


NB: Ceci est en fait le théorème du reste chinois, que je sais résoudre via la méthode traditionnelle en utilisant les congruences.
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[gg0]

Bonjour.

Qu'appelles-tu "résoudre l'équation algébriquement" ? Car x=7y+5 est déjà résolu (ça fait penser à "résoudre l'équation x=2"). Ou, si tu veux l'ensemble des solutions, il est immédiat : {(x,y)/ y entier, x=7y+5}, ou encore {(7y+5,y)/ y entier}.

Pour un système, une méthode algébrique est de chercher l'intersection des ensembles de solutions, ce qui revient à faire le travail habituel.

Cordialement.

[Voltax]

Qu'appelles-tu "résoudre l'équation algébriquement" ? Car x=7y+5 est déjà résolu (ça fait penser à "résoudre l'équation x=2"). Ou, si tu veux l'ensemble des solutions, il est immédiat : {(x,y)/ y entier, x=7y+5}, ou encore {(7y+5,y)/ y entier}.

"Pour un système, une méthode algébrique est de chercher l'intersection des ensembles de solutions, ce qui revient à faire le travail habituel. " -gg0

-> premièrement, j'ai choisi une simple équation x=7y+5 pour introduire mon sujet : résoudre un système d'équations modulaires sans utiliser les congruences ^^.

-> ensuite, je cherche justement comment " faire le travail habituel. " (-gg0).

En bref, peux tu m'indiquer la marche à suivre pour faire le travail habituel ?

Merci à toi

[gg0]

Désolé,

vu ton message, je croyais que tu savais faire .... "que je sais résoudre via la méthode traditionnelle en utilisant les congruences". Aurais-je mal lu ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Voltax]

La méthode avec les congruences , aucun problème. Je me demandais juste comment résoudre ce type d'équation sans congruences ...

[gg0]

Ben .. x=5 [7] ayant la signification x=7k+5, on travaille avec les k.

Cordialement.

NB : C'est plus lourd ...
NBB : Si le problème se pose en termes de congruences, on les utilise déjà. mais il y a des des résolutions de problèmes se ramenant à cela depuis des siècles, entre autres en Chine (d'où le nom du théorème).

[Voltax]

Et pour un système ?

[gg0]

Ben ... de la même façon.

Si x=5 [7] et x=8[13], alors x=7y+5 et x=13 z+8
x est une valeur commune des suites
5, 12,19,26,33,40, 47..
8, 21,34,47, 60, ...
Comme 13*7=91, le terme commun 47, se retrouve tous les 13 termes dans la première suite, tous les 7 termes dans la deuxième, et finalement x=47+k.91

Cordialement.

[Voltax]

Merci ! Les explications sont très efficaces