Question de probabilité/statistique

[fred31460]

Bonjour,

Je me suis intéressé à la définition de "variable aléatoire". La voici: La variable aléatoire est l'univers est une fonction X de l'univers vers R, c'est à dire une fonction qui, à une issues de l'expérience aléatoire, associes un nombre réel.

Une usine produits des pièces utilisées pour la fabrication de machines. On suppose que toutes les pièces produites sont vendues. Des tests ont montré que, sur une production de 1800 pièces, 45 pièces sont défectueuses. Les pièces défectueuses réparées avant commercialisation.

On sait que:

Le cout de fabrication d'une pièce est de 7 euros
Le cout de réparation d'une pièce défectueuse est de 4 euros

Chaque pièce est vendue 15 euros.

a) Calculer le gain moyen par pièce produite

Donc, la proportion de pièces défectueuses est 45/1800 soit 1/40

Soit G la variable aléatoire égale au gain rapporté par une pièce fabriquée

Voici ma question:

Je ne comprends pas pourquoi ici on parle de variable aléatoire, on n'a pas pourtant à faire à une expérience aléatoire ?

Cordialement.
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[Dlzlogic]

Bonjour Fred,
Je suis parfaitement d'accord avec vous. Cet exercice est un exercice de calcul de proportion. La notion d'aléatoire n'intervient nulle part.
Ce serait intéressant que vous indiquiez d'où vient cet énoncé, un livre, un cours ou simplement un exercice qui a été posé sous le chapitre "probabilités et statistique" par votre professeur.
Bonne journée.

[fulmen]

salut,

si il y en a une : ta variable peut prendre deux valeurs aléatoire selon que ta pièce soit défectueuse ou fonctionne correctement.

bonne soirée

[gg0]

Bonjour.

La question est effectivement mal posée. Pour une pièce donnée, le gain n'est pas aléatoire. Le rédacteur de l'énoncé oublie de dire "une pièce prise au hasard dans la production".
Comme tu mélanges (apparemment) l'énoncé et sa réponse, difficile de savoir quel est l'énoncé précis. Mais déjà, il est mal formulé (45 sur 1800 est-il la vraie valeur du taux de défectueux, ou seulement le résultat d'un test ?).
Si tu as encore besoin d'aide, donne l'énoncé précis, de façon claire.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[fred31460]

Bonjour,

Merci pour votre réponse "fulmen". On peut aussi dire que cela est du au hasard le fait qu'une pièce sera défectueuse ou non, donc n'a bien à faire à une expérience aléatoire.

Voici l'énoncé gg0:

Une usine produits des pièces utilisées pour la fabrication de machines. On suppose que toutes les pièces produites sont vendues. Des tests ont montré que, sur une production de 1800 pièces, 45 pièces sont défectueuses. Les pièces défectueuses réparées avant commercialisation.

On sait que:

Le cout de fabrication d'une pièce est de 7 euros
Le cout de réparation d'une pièce défectueuse est de 4 euros

Chaque pièce est vendue 15 euros.

Cet énoncé est issu du livre "prépabac" 1ère S.

Cordialement.

[gg0]

C'est effectivement mal foutu. Pourquoi ne pas dire directement que la probabilité qu'une pièce soit défectueuse est estimée à 45/1800 ?

"Les pièces défectueuses réparées avant commercialisation." est un phrase sans verbe !!!

Pour le gain moyen sur les 1800 pièces, pas besoin de probabilités. Pour le gain moyen sur la production générale, il faut des hypothèses additionnelles (permanence de la défectuosité, indépendance ou pas des défauts, ...).

Cordialement.

[fred31460]

Merci gg0.

Ce qui me turlupine, c'est le fait que la variable aléatoire soit le gain rapporté par une pièce fabriquée. Si on reprend la définition, une variable aléatoire X sur un univers est une fonction qui, à tout élément de cet univers associe un réel.

Une expérience faisant intervenir le hasard s'appelle une expérience aléatoire. Ici, le "hasard" serait le fait d'avoir une pièce défectueuse ou non.

L'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire s'appelle l'univers. Donc ici, l'univers serait les 45 pièces défectueuses sur les 1800.

Donc une variable aléatoire X sur un univers, (cet à dire sur les 45 pièces défectueuses) est une fonction qui, à tout élément ( qu'entend t'ont par "élément" ?) des 45 pièces associe un réel ( ce réel représenterait le probabilité d'avoir un pièce défectueuse ?)

J'essaye d'identifier les différents termes pour mieux comprendre.

Merci, cordialement.

[Médiat]

Donc ici, l'univers serait les 45 pièces défectueuses sur les 1800.

Non, les 1800

[fred31460]

Bonjour,

Merci à vous "Médiat". J'essaye de trouver des astuces pour reconnaitre chaque élément ( variable aléatoire, univers, etc...) dans l'énoncé.

Cordialement.

[gg0]

Bonjour.

Si tu veux apprendre ce qu'est une variable aléatoire, prends un cours sérieux, pas un exercice mal posé. Et regarde les exemples.
Ici, tu ne peux pas tirer grand chose, car il n'y pas la définition correcte d'une épreuve aléatoire (univers, loi de probabilité sur cet univers) (*).
Le mieux à faire est de laisser tomber cet exercice et, après avoir étudié la théorie (un vrai cours), de prendre des exercices sains.

Cordialement.

(*) On ne sait même pas si on travaille sur 1800 pièces ou sur une nouvelle pièce, ou sur l'ensemble des pièces produites !!!

[fred31460]

D'accord gg0.

Pratiquement tout mes cours sont aussi de livre de type "prépa bac", "clés du bac", "100% exos" etc... les cours par correspondance étant relativement cher. Toutefois, ils sont en accès libre sur le site de l'académie. Je peux faire avec des manuels scolaires aussi, et je pense que c'est le mieux.

Cordialement.

[gg0]

Oui, des manuels scolaires, ou des cours sur Internet. les bouquins d'exos n'ont d'intérêt que si le cours est bien connu (et s'ils sont faits correctement, celui ci ne l'est pas).

[fred31460]

D'accord, merci à vous gg0.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je me permets un petit rajout à ce qu'a dit gg0.
Si on regarde la plupart des cours, l'étude des probabilités et statistique revient à étudier et appliquer les règles relatives à la théorie des ensembles. Ce qui revient finalement à calculer des proportions. En ce sens, l'exercice dont on parle correspond à ce qu'on appelle couramment "calculs de probalité et statistique".
Les notions de probabilités impliquent que le hasard soit pris en compte : "variable aléatoire", d'où la nécessité d'aborder des notions plus compliquées comme la justification de la moyenne arithmétique, la loi des grands nombres et la loi normale. L'étude de la statistique nécessite une bonne connaissance des probabilités.

[zenxbear]

pour moi, il n'y a pas de pb dans l’énoncé.

J'ai un stock de 1800 machins. 45 de ces machins sont défectueux.
Je vends 1 machin parmi ces 1800. J'ai donc pris un tirage aléatoire.
Ma variable aléatoire est le Gain réalisé sur la vente de ce machin.
Et on te demande le gain moyen.

[gg0]

Ce n'est pas ce que dit l'énoncé :

Des tests ont montré que, sur une production de 1800 pièces, 45 pièces sont défectueuses

Sur les 1800 pièces, le gain moyen par pièce est une question d'arithmétique financière), pas de probas :


Comme on a un énoncé partiel, plus peut-être une partie du "corrigé", je me méfie cependant.
Et je suis conscient que si on prend comme probabilité de défectuosité 45/1800, et un modèle basé sur cette idée, on trouve le même résultat. mais pas besoin de variable aléatoire.

Cordialement.

[fred31460]

Bonjour,

Voilà le corrigé complet de la question 1:

Soit G la variable aléatoire égale au gain rapporté par une pièce fabriquée.

Pour une pièce non défectueuse, le gain est 8 euros, pour une pièce défectueuse, il est de 4 euros.

La loi G peut etre résumé dans le tableau suivant ( je ne peux pas faire de tableau)

x 4 8
P(G=x) 1/40 39/40

La gain moyen par pièce produite est l'espérance E(G) de la variable G,

Soit E(G)= 4/40+312/40=361/40=7,9

Une pièce fabriquée rapporte en moyenne 7,90 euros.

Cordialement.

[gg0]

Autrement dit, le corrigé parle d'une pièce prise aléatoirement (l'énoncé non), soit parmi les 1800, soit parmi la production en supposant que la probabilité de défaut est 1/40. Seul le deuxième cas nécessite vraiment une variable aléatoire.

Fred, comprends-tu maintenant ce qu'est cette variable aléatoire ?

NB : dans un message précédent, j'ai calculé le coût moyen de production, pas le gain moyen. Il suffit de le soustraire au prix de vente. Ou de faire le même calcul avec 8 et 4 à la place de 7 et 11.

Cordialement.

[zenxbear]

donc c'est comme je l'avais compris. Certes pour 1 objet vendu ca parait inutile.
Mais la question 2 peut être du style:
> Il vend 10 objets. Quel est le gain moyen? [on est sensé retrouver 7.9 x10= 79]... donc toujours inutile à priori. Mais au passage on peut retrouver l'égalité de vandermonde.
ou une question du style:
> Le commerçant vend 100 objets et retourne les invendus. Quelle est la probabilité que ses gains soient supérieurs à 700€? [ie il ne peut avoir plus de 25 pièces défectueuses]. faut peut être écrire une routine pour calculer ca.

[gg0]

Avec un énoncé bien écrit, tes questions ont du sens. la deuxième se traite très bien avec la loi binomiale.

Cordialement.

[fred31460]

Merci à vous.

Donc d'après la définition, une variable aléatoire est toute grandeur numérique dont la valeur dépend de l'issue. On a une expérience aléatoire, avec des issues possibles (univers) et une grandeur qui va dépendre ( qui va etre fonction) de cet univers.

Cordialement.

[gg0]

C'est une définition "type lycée" qui est très satisfaisante. Intuitivement, c'est un nombre dont la valeur dépend d'une expérience aléatoire.

Cordialement.

[fred31460]

Merci à vous gg0 pour votre aide et aux autres répondants.

Je préfère la définition " ... grandeur numérique dont la valeur dépend de l'issue " dans un premier temps, avant de préciser que c'est une fonction qui à un élément de l'univers lui associe un réel. Ce qui revient au même mais je n'avais pas saisie au premier abord le sens de fonction qui tout simplement voulait dire " dépend de "ou est fonction de ".

En tout cas, les stats/probas sont presque quasiment sur de tomber au bac S, cet un incontournable.

Cordialement.

[fred31460]

Bonjour,

Une petite question me turlupinait à propos des probabilités. En faite, je n'arrive pas à faire le lien entre les intégrales et les probabilités, je ne vois pourquoi les probabilités sont représentés sous la forme de courbe de Gauss. En faite, je ne vois pas en quoi une "question d'aire" vient faire.

Que représente concrètement l'axe des abscisses et des ordonnées dans les probabilités qui utilisent la courbe de Gauss, la variable aléatoire par exemple peut représenter l'axe des abscisses ?

Je vous remercie, cordialement.

[gg0]

Bonjour.

Sur un univers fini, on n'a besoin que des probabilités de chaque issue. Mais sur un univers "continu", ça devient plus délicat. Par exemple, l'épreuve est "on choisit au hasard un nombre réel entre 0 et 1". Quelle est la probabilité de l'issue "0" ? Si on traduit l'idée de "au hasard" par une notion d'équiprobabilité (c'est la traduction habituelle), chacun des nombres entre 0 et 1 a la même probabilité p. Comme il y a une infinité de nombres, quand on va ajouter ces probabilités, on va dépasser 1, sauf si p=0. Mais en ajoutant des 0, on n'arrivera jamais à 1. problème !!
Donc on ne va pas faire porter la probabilité par des nombres, mais par des intervalles, leurs réunions et intersections. par exemple, [0;0,5] et ]0,5;1] ayant la même longueur, ils ont la même probabilité. Comme réunis ils donnent [0;1] et sont d'intersection nulle, cette probabilité est 0,5, leur longueur. On démontre que c'est général : Pour un intervalle contenu dans [0;1], on utilisera sa longueur comme probabilité. Et on en déduira les probabilités des réunions d'intervalles.
Oui, mais s'il n'y a pas équiprobabilité ?
Alors il va falloir savoir comment ça varie. Une méthode, analogue au passage du mouvement uniforme (vitesse constante) au mouvement quelconque, est d'utiliser une mesure de la variation de probabilité : Restons sur [0;1] (mais ça se généralise) et formons la fonction cumulative F : x --> P([0;x]) (*); si au voisinage d'une valeur, disons 0,4, la probabilité est forte, cette fonction va augmenter rapidement (**), sa dérivée sera grande, et si, au contraire la probabilité est faible, elle va augmenter doucement, la dérivée sera petite; voire nulle si F n'augmente pas.
Cette dérivée est appelée "densité de probabilité" et elle donne une idée de où on trouve la probabilité.
Tout ça s'exprime mieux en considérant la variable aléatoire X = "résultat du tirage". Je vais dans la suite utiliser ce langage. Quel est alors la probabilité d'avoir un résultat dans un intervalle ]a;b] inclus dans [0;1] ? C'est

car F est une primitive de f. On a donc deux moyens de calculer des probabilités, avec la fonction de répartition, ou avec la densité. Mais comme la fonction de répartition est difficile à interpréter, pour une représentation graphique, on représente la densité; par contre, pour les calculs, F est plus pratique. C'est d'ailleurs elle qu'on utilise pour la loi Normale centrée réduite.

Cordialement.

(*) En utilisant la variable aléatoire X = "résultat du tirage", F est la fonction de répartition de X :
(**) par nature elle est croissante

[fred31460]

Merci à vous gg0 pour cette réponse précise et détaillée.

Je posais cette question car, cela n'est pas expliqué pourquoi on fait appel à cette notion d'intégrale. Peut-être qu'en cours les profs en parlent, mais j'ai surtout l'impression que maintenant les maths passent par une application directe des théorèmes sans vraiment comprendre le pourquoi du comment.

Cordialement.

[gg0]

En général, les profs de lycée passent du temps à expliquer ça, même si ça passe souvent mal, faute d'une bonne habitude des intégrales. par contre "les maths passent par une application directe des théorèmes sans vraiment comprendre le pourquoi du comment" est effectivement une tendance actuelle, imposée par des programmes (stats surtout) incohérents et le manque croissant de technicité des élèves, faute d'un travail sérieux en collège sur les calculs de base (fractions, puissances,...). Ils ne sont pas seuls responsables, les programmes de collège ayant été allégés sans pensée à long terme.
Mais toi, il me semble que tu travailles seul ? Alors prend de vrais bouquins de cours, certains donnent bien les explications en début de chapitre (contrairement aux bouquins d'exercices genre prépabac, qui sont destinés à ceux qui ont eu les explications par le prof).

Cordialement.

[fred31460]

Oui, je travaille seul.

Sur la site "hachette", les bouquins de maths sont en accès libre, de même sur "sesamaths". Je pense me faire des fiches de maths avec le logiciel "texmaths", en reprenant les cours des différents bouquins, parce que sur certains bouquins, ils manquent des informations.

Cordialement.

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Je mets +1 à l'intervention de gg0.
En fait, il se trouve que les notions de probabilités sont simple (ie pas compliquées) mais l'expérience montre qu'elle sont difficile à comprendre. Assurément certains cours tentent de simplifier les problèmes, le résultat apparait comme incompréhensible.
Ce sujet est maintenant au programme, pour moi, c'est une décision incompréhensible.
Tout ça pour vous dire qu'il y a deux hypothèses, à mon avis incompatibles, soit vous cherchez à "apprendre" ce qui vous sera utile pour répondre aux exercices du bac, soit vous voulez comprendre ce dont il s'agit.
Mes termes sont un peu forts, mais le rejoins tout à fait gg0, faites-vous aider.