problème de math de 1ère S sur fonction affine

[yakitori]

bonsoir,
j'essaye d'aider ma fille sans succès sur le problème suivant:
1 Soit A la fonction affine définie sur R par :
A(x) = ax+b
Montrer que x1 est racine de A si et seulement si, A(x) se factorise par (x-x1)

Pouvez-vous m'aider svp?
Cordialement
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[PlaneteF]

Bonsoir,

Le sens de la démonstration est trivial.

Maintenant pour le sens , supposons racine de . Dans ce cas et l'on peut donc écrire :



Je te laisse le soin de finir.

Cordialement

[yakitori]

magnifique! merci beaucoup PlaneteF
maintenant la suite:
soit T(x) = ax²+bx+c
montrer que x₁ est racine de T ssi T(x) se factorise par (x-x₁)
j'ai appliqué la même méthode : T(x) = (x-x₁)[a(x+x₁)-b]
ensuitre
en déduire que x₁ et x₂ sont deux racines, éventuellement confondues, de T ssi:
T(x) = a(x-x₁)(x-x₂)
on précisera alors le liens entre x₁ et x₂
le sens <= est mais je ne trouve pas =>
Cordialement

[PlaneteF]

j'ai appliqué la même méthode : T(x) = (x-x₁)[a(x+x₁)-b]

Oui, mais c'est mieux d'écrire : qui est donc de la forme avec étant une fonction affine et du coup on peut utiliser le résultat de la première question :

On a qui vaut aussi puisque est racine de .

Donc

Dans le cas de racines distinctes, c'est-à-dire il vient immédiatement c'est-à-dire racine de et d'après la 1ère question il vient

On obtient bien au final :


Dans le cas de racines confondues, on peut faire un raisonnement du même genre.


Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[yakitori]

génial merci beaucoup!!!
cordialement

[Chadocan]

Bonjour,

Par contre, j'ai beau refaire le calcul, il me semble que :

T(x) = (x-x1)[a(x+x1) + b] et non pas - b, cela ne change rien à la conclusion finale quoi qu'il en soit.

[PlaneteF]

Bonjour,

Oui tu as raison c'est bien (personnellement je m'étais focalisé sur la raisonnement).

Ce qui du coup donne ici :

Merci
Cordialement

[PlaneteF]

Bonjour

Dans le cas de racines confondues, on peut faire un raisonnement du même genre.

Je complète ce point : Dans le cas où il n'y a qu'une seule racine, appelons là , on a toujours : avec fonction affine qui elle-même a une racine (un suppose bien sûr que . Cette racine ne peut pas être autre que car sinon elle serait aussi racine de , ce qui serait contradictoire avec l'hypothèse d'une racine unique. Donc toujours d'après la 1ère question on a

Conclusion :


Cdt