Calcul de probabilités

**stephane265** · 14/10/2016, 17h14

Bonjour à tous!

Il m'a été soumis il y a quelques semaines un problème et sa solution, mais j'ai des doutes sur sa validité de cette solution. Je vous expose le sujet:

Un ami a trois passions: les mathématiques (c'est déjà un bon début!), la photographie argentique et le tir aux pigeons d'argile. Il se rend régulièrement sur des stands pour pratiquer lui-même ou pour prendre des photographies des lancers.

Il a eu un jour une idée saugrenue (enfin bon, peut-être pas tant que ça

). Il a divisé toute une série de pigeons d'argile en 12 secteurs angulaires de 30° chacun, en peignant un seul de ces secteurs en blanc (face inférieure) pour qu'il soit bien visible. Puis il a demandé à un pote de lancer toute une série de pigeons, selon la même trajectoire imposée par le lanceur, pendant qu'il photographiait une seule fois chacun de ces pigeons, selon un angle qui lui permette de bien voir le secteur en blanc, de dessous.

Il s'est donc demandé quelle était la probabilité qu'il puisse réussir sur une pellicule unique de 36 poses 4 photographies successives des pigeons d'argile montrant toujours le même secteur orienté dans le sens du déplacement du pigeon. Il précise avoir réussi à chaque fois sa photographie, le secteur blanc étant bien visible, et n'avoir utilisé qu'une pellicule (bien que je suis certain qu'il en a usé pas mal pour tester in situ ses calculs).

Il n'a pas voulu me donner la réponse, et j'ai un peu de mal moi-même avec les probas (soyez indulgents svp!

). En revanche, il m'a été soumis la réponse suivante:

"Il y a une chance sur 12 à chaque photo pour que l'orientation du secteur blanc soit dans l'axe de la trajectoire du pigeon.
Pour obtenir une série de 4 photos consécutives qui soient toutes dans le bon secteur, la probabilité vaut 1/12 * 1/12 * 1/12 * 1/12 = 1/12^4 = 1/20736. Donc il faudrait environ tester 20000 séries de 4 photos, ce qui nous fait un total de 80000 lancés".

80000 lancés?

J'ai l'intuition qu'il y a erreur, mais sans parvenir à la mettre à plat. L'intuition c'est bien, mais la démonstration c'est mieux non?

Qui veut bien m'aider? Merci d'avance!

**stephane265** · 15/10/2016, 14h14

Personne?

Bon je devrais alors peut-être essayer dans le forum mathématiques du supérieur, non?

**gg0** · 15/10/2016, 14h21

Bonjour.

je n'ai pas trop compris, mais s'il a pris 4 photos seulement, sur sa pellicule de 36 poses (un peu ringard, non, les pellicules ?), il y a effectivement une chance sur 20736 que ça arrive. Ce qui n'interdit pas que ce soit arrivé, surtout s'il a reproduit l'expérience.

Cordialement.

**ansset** · 15/10/2016, 14h29

bjr en faite, tu ne réponds pas à sa question.
Une pellicule de 36 poses contient 33 suites de 4 clichés successifs.
la proba qu'une de ces suites soit "positive" est bien de (1/12)^4
reste que le pb n'est pas fini, puisqu'il y a 33 suites possibles.
ensuite l'énoncé ne dit pas si c'est "au moins" 4 clichés "blancs" ou exactement 4 clichés "blancs".
donc selon la question il faut tenir compte ou pas des autres tirs.

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**ansset** · 15/10/2016, 14h38

le reste du calcul est faux, ce n'est pas parce qu'une probabilité est de 1/x qu'il faut avoir x tentatives pour être sur d'avoir un bon résultat.
dans ce cas on fait un calcul d'espérance.

**ansset** · 15/10/2016, 16h09

pour éviter toute incompréhension, je n'ai pas dit qu'il suffisait de multiplier le premier terme par 33.

**ansset** · 15/10/2016, 16h16

désolé pour ces multi-post ; ça me semble un peu hard pour un exercice de lycée.

**stephane265** · 15/10/2016, 17h09

Envoyé par gg0

Bonjour.

je n'ai pas trop compris, mais s'il a pris 4 photos seulement, sur sa pellicule de 36 poses (un peu ringard, non, les pellicules ?), il y a effectivement une chance sur 20736 que ça arrive. Ce qui n'interdit pas que ce soit arrivé, surtout s'il a reproduit l'expérience.

Cordialement.

Bonjour et merci pour la réponse.

Oui ringard, mais je pense que c'est fait exprès pour compliquer encore le problème!

**stephane265** · 15/10/2016, 17h13

Envoyé par ansset

bjr en faite, tu ne réponds pas à sa question.
Une pellicule de 36 poses contient 33 suites de 4 clichés successifs.
la proba qu'une de ces suites soit "positive" est bien de (1/12)^4
reste que le pb n'est pas fini, puisqu'il y a 33 suites possibles.
ensuite l'énoncé ne dit pas si c'est "au moins" 4 clichés "blancs" ou exactement 4 clichés "blancs".
donc selon la question il faut tenir compte ou pas des autres tirs.

Bonjour ansset et merci aussi de te pencher sur ce problème,

Pour préciser, peu importe où se situe la série consécutive des 4 photos sur la bande de négatif, l'important étant que ces photos soient consécutives. Par ailleurs, il s'agit de "exactement 4 clichés blancs". Par ailleurs, l'ensemble de la pellicule a été utilisée, mais seules 4 images consécutives doivent montrer le même secteur orienté selon la trajectoire.

Si vous pensez que le problème est trop ardu pour le niveau lycée, il est possible de reposter le sujet dans la section mathématiques du supérieur? Ou est-ce à un modérateur de déplacer le sujet?

Merci encore en tous les cas!

**ansset** · 15/10/2016, 17h33

Envoyé par stephane265

Bonjour ansset et merci aussi de te pencher sur ce problème,

Pour préciser, peu importe où se situe la série consécutive des 4 photos sur la bande de négatif, l'important étant que ces photos soient consécutives. Par ailleurs, il s'agit de "exactement 4 clichés blancs". Par ailleurs, l'ensemble de la pellicule a été utilisée, mais seules 4 images consécutives doivent montrer le même secteur orienté selon la trajectoire.

Si vous pensez que le problème est trop ardu pour le niveau lycée, il est possible de reposter le sujet dans la section mathématiques du supérieur? Ou est-ce à un modérateur de déplacer le sujet?

Merci encore en tous les cas!

je pense qu'on est pas obligé de changer de forum.
ce sont souvent les mêmes intervenants, sauf pour les sujets très pointus.

le "exactement" est important.
je reviendrai tout à l'heure, mais peut être que qcq viendra entre temps.
cordialement.

ps : je suppose que tu veux dire , une seule suite de 4 blancs, ce qui n'interdit pas d'autres blancs "dispersés".
cela veut dire aussi qu'une suite de 5 blancs ne rentre pas dans "les cases" car cela ferait deux suites adjointes,.
merci pour tes précisions sur l'énoncé.

**gg0** · 15/10/2016, 17h45

C'est un problème un peu complexe pour un lycéen, mais qui se résout à la main avec des outils du niveau lycée, par exemple avec un arbre des possibilités ne contenant que les branches utiles. Comme il n'y a )à chaque photo que deux possibilités (blanc ou pas), et une profondeur de 36, il y a au plus 2^36 branches, mais on va en élaguer pas mal. Cependant, il faut pas mal de papier !!!
Il faut encore qu'on puisse attester que la présence de la partie blanche sur le cliché soit probabilisable, c'est d’ailleurs ce qui tu avais fait, en supposant qu'il y a une chance sur 12, ce qui n'est d'ailleurs pas très réaliste (la photo a une certaine largeur, qui peut comprendre du blanc et du non blanc. S'il s'agit de n'avoir que du blanc, et que par exemple la photo donne un demi secteur, alors c'est plutôt 1/24 et s'il s'agit de voir du blanc, pas nécessairement seul, dans les mêmes conditions, c'est plutôt 1/6.

Mais s'agit-il d'un vrai problème concret (j'en doute) ou d'un habillage pseudo-concret d'un exercice de type prépas éco ? En tous cas, ça ressemble à ces problèmes, détaillés en plusieurs questions qu'on donne en prépa. Et si on ne veut pas utiliser des dizaines de feuilles, il faut utiliser des outils de ce niveau (suites récurrentes doubles, probablement).

Tu peux demander à un modérateur de déplacer en supérieur, mais alors, donne la mathématisation précise de ce que tu veux. Pour ma part, je ne sais toujours pas s'il s'agit de "au moins une fois sur les 36 poses, 4 de suite" ou "une seule fois sur les 36 poses, 4 de suite" (le premier me semble plus simple).

Et je ne ferai pas le calcul, j'ai horreur de ce genre de calculs

Cordialement

**stephane265** · 15/10/2016, 18h15

Envoyé par ansset

j
ps : je suppose que tu veux dire , une seule suite de 4 blancs, ce qui n'interdit pas d'autres blancs "dispersés".
cela veut dire aussi qu'une suite de 5 blancs ne rentre pas dans "les cases" car cela ferait deux suites adjointes,.
merci pour tes précisions sur l'énoncé.

Merci à toi, et désolé pour les imprécisions, j'aurais dû être plus clair dès le début.

En fait il faut uniquement une série consécutive de 4 blancs et pas de dispersés. Et effectivement, le problème se base sur 4 blancs et non 5 ou plus, ou moins.

**ansset** · 16/10/2016, 10h33

si j'ai bien compris ton énoncé complet.
en fait ton exercice suppose 2 faits conjugués.
1) tirer exactement 4 blancs ( sur 36 tirs ) , donc pas d'autres suites, ni même un seul blanc à part ! est ce bien cela ?
2) que ces 4 blancs soit sur une suite et non dispersés.
tu as deux calculs à faire , et ensuite associer les deux .

**stephane265** · 16/10/2016, 10h48

Envoyé par ansset

si j'ai bien compris ton énoncé complet.
en fait ton exercice suppose 2 faits conjugués.
1) tirer exactement 4 blancs ( sur 36 tirs ) , donc pas d'autres suites, ni même un seul blanc à part ! est ce bien cela ?
2) que ces 4 blancs soit sur une suite et non dispersés.
tu as deux calculs à faire , et ensuite associer les deux .

Bonjour ansset! Oui tout à fait!

La réponse est donc plus complexe que ne le laissait supposer la première réponse que j'ai eu (voir mon premier message). Je suis bien incapable de résoudre ce problème, perso. Peut-être toi ou quelqu'un au niveau supérieur? Si c'est le cas, la mathématisation du problème vous semble t'elle plus complète à présent?

Sinon, pour répondre précisément a gg0, il s'agit bien de "une seule fois sur les 36 poses, 4 de suite".

**ansset** · 16/10/2016, 10h51

alors reprends mon mess précédent.
et en fait, c'est subtil, mais on peut le faire avec les maths du lycée.
question 1)
quelle est la proba d'avoir "exactement" 4 tirs blancs sur les 36 ? quel que soit l'ordonnancement ! ?

**ansset** · 16/10/2016, 11h18

Envoyé par stephane265

"Il y a une chance sur 12 à chaque photo pour que l'orientation du secteur blanc soit dans l'axe de la trajectoire du pigeon.

si on prend cette phrase comme une "donnée" de l'énoncé".
alors ( petit coup de main pour la première partie )
la probabilité d'avoir exactement 4 tirs blancs sur 36 ( ni plus ni moins ) est naturellement de ((1/12)^4)*(11/12)^32 ( car tous les autres doivent être noirs )
ensuite il faut rajouter une condition :
que les 4 tirs soient successifs : là il suffit de compter ( nb de cas favorables)/(nb de cas possibles )

**gg0** · 16/10/2016, 12h11

Ah, effectivement, c'est plus simple, puisqu'il y a 33 façons différentes de faire, et que chacune a la même probabilité, facile à calculer, celle d'avoir 4 blancs à des places données et rien dans les 32 autres places.
C'est effectivement de niveau lycée.

**ansset** · 16/10/2016, 12h49

salut gg0;
comme d'hab, le plus dur est souvent d'avoir au départ un énoncé clair.
et il arrive qu'on passe plus de temps à le chercher qu'à résoudre le pb.
très cordialement.

**ansset** · 16/10/2016, 12h55

restes que le calcul n'est pas totalement trivial, non plus.

**gg0** · 16/10/2016, 12h59

A noter que si ce n'est pas un exercice, c'est plutôt la probabilité à priori d'un événement qui est arrivé. Ce qui peut donner des probabilités très faibles, comme celle qu'avait un gagnant du loto de gagner. Donc un calcul inexploitable.

**ansset** · 16/10/2016, 13h35

pas simple pourquoi ! on raisonne en deux temps.
il faut 4 blancs et EN PLUS dans une seule suite de 4
donc pour le faire proprement il faut faire avec les probas conditonnelles
$\text{[math]}$
d'où
$\text{[math]}$
donc si B est 4 blancs uniquement et A 4 blancs successifs.
la solution est $\text{[math]}$ , on peux donc multiplier les probas.
$\text{[math]}$
et l'autre proba $\text{[math]}$
au final , j'obtiens
$\text{[math]}$

il y a peu être plus court...

**gg0** · 16/10/2016, 13h49

Pour moi, je détermine la proba commune de 4 photos blanches et 32 autres (quels que soient les numéros des blanches) :
$\text{[math]}$
Et comme parmi tous ces événements, seuls 33 événements incompatibles donnent le bon résultat (*)j'obtiens
$\text{[math]}$ soit une chance sur 10 000, ce qui n'est pas négligeable.

Je remarque que tu obtiens beaucoup moins, et surtout moins que la proba que les 4 premiers soient blancs, les suivants non blancs. mais comme je n'ai pas compris ton calcul de P(A|B) ...

Cordialement.

(*) En notant N pour non blanche, de BBBBNN...NN à NNN...NNBBBB

NB : On est en train de faire l'exercice de Stéphane265

**ansset** · 16/10/2016, 13h53

je suis quasiment sur de mon résultat.
essayes de voir ce que donne ton calcul avec des probas équivalentes.
tu arriverais à P>1 en fct du nb de lancer.

**ansset** · 16/10/2016, 14h01

ceci dit, j'ai un doute , je vais vérifier.

**gg0** · 16/10/2016, 14h05

Comment expliques-tu que ton résultat est inférieur à la proba d'un événement inclus dans celui dont tu parles ?

Mon calcul ne donnera jamais plus de 1, la forme générale, pour n lancer (et toujours 4 blancs) est
$\text{[math]}$
Ce qui donne un maximum de l'ordre de 0,000222 pour n =14 ou 15, puis diminue et tend vers 0 quand n tend vers l'infini (ce qui est logique). Évidemment, n est au moins égal à 4.

Cordialement.

**ansset** · 16/10/2016, 14h05

Envoyé par gg0

Je remarque que tu obtiens beaucoup moins, et surtout moins que la proba que les 4 premiers soient blancs, les suivants non blancs. mais comme je n'ai pas compris ton calcul de P(A|B) ...

pas d'accord avec l'argument.
la proba que tu évoques et celle ou les 4 premiers sont blancs , mais pas celle ou seulement ceux là sont blancs !
je veux dire ou c'est la seule solution.

**gg0** · 16/10/2016, 14h09

Je parle bien de
$\text{[math]}$
qui est la probabilité d'avoir d'abord 4 blancs puis ensuite 32 non blancs (d'où le 11/12).
C'est aussi la proba d'avoir k non blancs (0<=k<=32), puis 4 blancs, puis 32-k non blancs.

Cordialement.

**ansset** · 16/10/2016, 14h10

à la réflexion, je m'incline.
il y a bien 33 possibilités de combinaisons.
mon P(A|B) était mal calculé.

**ansset** · 16/10/2016, 14h38

ben à la réflexion, j'ai un doute........quand même.
bon, je reverrai plus tard..
Cdt

**ansset** · 16/10/2016, 14h48

je veux dire que ((1/12)^4)(11/12)^4 est la possibilité de tirer exactement 4 blanches.
ce n'est pas la proba de tirer exactement les 4 premières blanches au début, sans autre cas de figure.
d'où mon P(A|B).
1) proba d'e tirer exactement 4, on est d'accord.
2) ensuite proba que ces 4 forment une suite ! qui ne peut être un multiple.
ma formule initiale de proba conditionnelle est juste.

Calcul de probabilités