Bonjour , j'essaie d'être en mesure de prouver que pour tout vecteur de R^3, la norme de ce vecteur sera la même que la norme du vecteur obtenu en effectuant un produit matriciel entre ce vecteur et une matrice orthogonale. Mais voilà , je ne sias pas par où commencer.
Voilà ce que je chercher à prouver :
où M est une matrice orthogonale.
Je demande votre aide , s'il vous-plaît
Merci !
Bonjour,
C'est en effet une propriété des matrices orthogonales, mais pour le démontrer, il faudrait savoir ce que vous avez déjà vu en cours sur ces matrices (et qu'on pourra ensuite réutiliser dans la démonstration).
Dans tous les cas, on doit utiliser que ||v||=racine(tv.v) (tv est le transposé de v)
Si la définition de votre cours est que les colonnes d'une matrice orthogonale forment une base orthonormée, il faut faire un peu de manipulation en décomposant le vecteur v sur cette base pour démontrer le résultat.
Et si vous avez déjà vu que tM.M=In (ce qui se démontre à partir de la définition), c'est encore plus simple en appliquant que pour toutes matrices ou vecteurs A, B, t(AB)=tB.tA
PS : En France en tout cas, on n'apprend pas cela au Lycée...
Dernière modification par Resartus ; 27/11/2016 à 11h46.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Bonjour ,
Dans un premier temps, merci de ta réponse !
En fait , je suis au collège et je suis présentement un cours d'algèbre linéaire. En effet, je suis en mesure de prouver assez facilement que ||v|| = racine (tv . v).
Et tu aussi vu juste quant à ma définition d'une matrice orthogonale, ma définition d'une matrice orthogonale est bien que les vecteurs colonnes d'une matrice orthogonale 3x3 forment une base orthonormée. (D'ailleur , le numéro juste avant dans mon devoir consistait à prouver ceci, ce que j'ai réussi).
Cependant , je ne comprend pas comment utiliser ces propriétés pour en arrive rà la conclusion que la matrice orthogonal conserve la norme du vecteur :/
Bonjour,
Un vecteur V quelconque exprimé dans la base orthonormale des Ei va s'exprimer sigma(vi.Ei) et le carré de sa norme va être sigma(vi²)
L'image du vecteur Ei de la base est le vecteur colonne Mi.
L'image de V=sigma (vi.Ei) sera MV=sigma (viMi). Or, comme les Mi sont aussi une base orthonormale, le carré de la norme de MV, va être, dans cette base sigma(vi²). On retrouve bien le carré de la norme de V
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