FAQ: Questions souvent posées en mathématiques

[invite5c2ce3dd]

toujours la même question : comment définis-tu, rigoureusement, le nombre "0.333..." ?
PS : c'est quoi un nombre fini ? un nombre non fini ?

Eh bien un nombre non fini est un nombre dont il est impossible de connaître la dernière décimale. Dans 0,333..., nous nous doutons qu'il s'agira de 3 mais nous ne pourrons réalité jamais la savoir pour la simple et bonne raison qu'il n'y en a pas. Il est illogique de dire qu'un nombre que nous ne connaissons pas en entier est strictement égal à un nombre que nous connaissons en entier.

0.333 serais enfait, comme défini dans le tout premier post, égale à la trois fois la sommes des 10^-k pour k allant de 1 à n et lorsque n tend vers l'infini.

Oui mais comme l'infini n'est pas un nombre rationnel nous ne pouvons pas le placer dans l'équation sans troubler l'égalité. Du moins, c'est ce que mon professeur m'a dit lorsque j'ai tenté de prouver que 1=2 à l'aide de 0/0. Je ne connais la fonction que tu utilises pour me prouver que 0,333...=1/3 alors ce que je dis perds du poids par contre:S
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[invitec317278e]

Oui mais comme l'infini n'est pas un nombre rationnel nous ne pouvons pas le placer dans l'équation sans troubler l'égalité. Du moins, c'est ce que mon professeur m'a dit lorsque j'ai tenté de prouver que 1=2 à l'aide de 0/0. Je ne connais la fonction que tu utilises pour me prouver que 0,333...=1/3 alors ce que je dis perds du poids par contre:S

Les 2 choses sont parfaitement différentes.
En maths l'infini peut avoir plein de sens différents, et il y a une différence entre une somme infini qui converge, et un nombre infiniment grand. La somme avec n qui tend vers l'infini dont parle Mikihisa n'est pas infiniment grande, et elle peut converger vers un nombre parfaitement rationnel.

Eh bien un nombre non fini est un nombre dont il est impossible de connaître la dernière décimale. Dans 0,333...

et si 1/3 est un nombre fini, ça veut dire selon toi qu'il a une dernière décimale. sinon, tu n'es pas cohérent (le contraire de non fini, c'est fini, et le contraire "pas connaitre la dernière décimale ou ne pas en avoir", c'est "connaitre la dernière décimale et en avoir une").
Alors quelle est la dernière décimale ?

[invite890931c6]

L'argument topologique est pour moi le plus compréhensible : peux tu trouver un nombre entre 0.99.... et 1 ? non donc ils sont égaux.

[invite5c2ce3dd]

Hmmm, je me doutais bien que je n'allais pas avoir raison. Par contre:

et si 1/3 est un nombre fini, ça veut dire selon toi qu'il a une dernière décimale. sinon, tu n'es pas cohérent (le contraire de non fini, c'est fini, et le contraire "pas connaitre la dernière décimale ou ne pas en avoir", c'est "connaitre la dernière décimale et en avoir une").
Alors quelle est la dernière décimale ?

Eh ben d'abord sur une fraction, pour qu'elle soit finie, il faudrait que le nominateur et le dénominateur soit fini. Je me suis mal exprimé pour essayer de donner une définition de nombre fini. Évidemment nous pourrions écrire 3 comme ceci, 3.000... , mais les zéros qui se répètent n'ont aucune incidence sur l'égalité puisqu'ils ne valent rien. Les 3 qui se répètent dans 0,333... ont une valeure qui a une indidence sur l'équation. Donc, si nous ne pouvons pas connaître le nombre de 3 qui se répètent, nous ne pouvons pas dire qu'il est strictement égal à un nombre dont nous connaissons la valeure exacte.

L'argument topologique est pour moi le plus compréhensible : peux tu trouver un nombre entre 0.99.... et 1 ? non donc ils sont égaux.

Me voilà déjoué. Mais est-ce que cela est une raison suffisante pour qu'ils soient égaux? Je vais le supposer pour l'instant comme je n'ai aucun contre exemple mais je ne suis pas complètement convaincu.

[Seirios]

Donc, si nous ne pouvons pas connaître le nombre de 3 qui se répètent, nous ne pouvons pas dire qu'il est strictement égal à un nombre dont nous connaissons la valeure exacte.

Nous savons qu'il y a une infinité de 3 dans l'écriture décimale de 1/3 ; comment fais-tu la différence entre 0,33333... et 3,00000.... ? Dans le second cas, tu as bien une infinité de décimales, et une valeur exacte qui est 3.

Me voilà déjoué. Mais est-ce que cela est une raison suffisante pour qu'ils soient égaux?

As-tu lu les démonstrations de la discussion ?

[invitec317278e]

Me voilà déjoué. Mais est-ce que cela est une raison suffisante pour qu'ils soient égaux? Je vais le supposer pour l'instant comme je n'ai aucun contre exemple mais je ne suis pas complètement convaincu.

On a des théorèmes qui permettent d'affirmer qu'entre 2 nombres différents, on peut trouver un rationnel, ou un réel non rationnel, comme on veut. Essaie donc de trouver un nombre rationnel entre 0.3333... et 1/3.

Ou plus simplement, si on a deux réels a et b distincts l'un de l'autre, on démontre sans problème que (a+b)/2 est strictement compris entre les 2.

Il existe donc bien toujours un réel entre 2 réels différents.

[invite3147cada]

Soit x=0.99999...

(*) pour tout y>0 on a x >= 1-y

(en effet 9 est le plus grand chiffre dans l'ecriture decimale)

Si on avait 1-x>0, alors on aurait 0<(1-x)/2 < (1-x) ce qui contredit (*) pour y=(1-x)/2

Donc (1-x)<=0, or x<=1 donc x=1

[invitef85dcae6]

Bonjour !
J'ai un problème pour la toute le message #2 :
Il a été écrit que 9*10^(n+1) = 0.9 , 0.09 , ...
N'y a-t-il pas une erreur ?
Merci !

[inviteaf48d29f]

Oui effectivement, cette ligne est un peu malheureuse.

Elle est là pour aider à comprendre ce qu'est une suite, mais l'égalité n'a pas vraiment de sens mathématique. Une égalité dans laquelle on voit des points de suspensions est toujours un abus de langage, les points de suspensions ne sont pas un objets mathématique.

De plus cette égalité est fausse, la suite devrait plutôt être u=9*10^-(n+1)
Le "+1" étant un artifice venant du fait qu'on commence à compter à partir de 0. Je pense qu'il serait plus judicieux de refaire le système d'indice et de commencer à 1.

Ainsi on a bien les valeur u₀)0,9
u₁=0,09
et ainsi de suite.

Cette suite converge bien vers 0 et on trouve bien les résultats donnés par Martini_bird.

[invite04364139]

soit x la largeur d'un rectangle dont le perimetre vaut 25. Pour quelle valeur de x, l'aire du rectangle est elle maximale? Comment faire pour calculer?

[invitec2fb065b]

bonjour excusez moi de vous déranger mais je voudrai vous demander s'il yaurait quelqun pour me donner quelques conseils , alors voila je suis en terminale ES et j'ai de grosses lacunes en maths , rien d'étonnant etant donné que en premiere jai été out tt au long de lannée en maths et mtn je ne sai pa trop koi faire ki plus est je fai spé maths et je doi aussi vs avouer ke jai kelkes bases a rattraper au niveau de la 3 éme car cest ds cette année la kon preprend tt les bases !!
P.S: JE VISE UN 15 le jour du bac et je suis prés a travailler tré dur pour cela alors jatten vos conseils merci davance !!

[invite058b6c66]

soit x la largeur d'un rectangle dont le perimetre vaut 25. Pour quelle valeur de x, l'aire du rectangle est elle maximale? Comment faire pour calculer?

@alya : Même si le sujet est vieux, pour ceux que ça intéresse, pour aborder ce genre de problème, l'idéal est d'écrire les indices donnés dans le sujet sous forme d'équations, pour mieux comprendre les liens entre les données du problème. On nomme x et L(x) les largeurs et longueurs. Et A(x) l'aire, puis P(x) le périmètre. D'après l'énoncé on peut écrire:
1) A(x)= x * L(x)
2) P(x) = 2 * ( x + L(x) )
3) P(x) est constante et vaut 25
A partir de là, tu dois mettre en évidence le fait que A est une fonction polynôme du second degré, utilisé ton cours pour l'étudier, et montrer qu'elle atteint un maximum. Enfin, interpréter ce résultat d'analyse en terme de géométrie.

[inviteaf6140f5]

il faut faire ceci: poser A=0,333333..... et multiplier les deux membres par 10 et par 100. on a:
10A=10X0.3333...=3,3333....
100A=100X0,3333=33,33....
ensuite faire la différence

33,33333.....
-
3,3333........
=30 c'est à dire
100A-10A=30
90A=30
A=30/90 = 1/3

[invite8143fd64]

j'ai que 12ans, mais je crois savoir:1/3=0,333333333333333333333333.. ..mais si on fait 1-0,9=0,1;1-0,99=0,01et si on fait 1-3(1/3)=0,0000000000000000000000000 0...on ne trouvera jamais le 1 alors sa fera o,donc 0,999999999999...=1

[invitec1242683]

j'ai que 12ans, mais je crois savoir:1/3=0,333333333333333333333333.. ..mais si on fait 1-0,9=0,1;1-0,99=0,01et si on fait 1-3(1/3)=0,0000000000000000000000000 0...on ne trouvera jamais le 1 alors sa fera o,donc 0,999999999999...=1

J'ai plus de 12 ans et ceci n'est pas rigoureux

[invite8143fd64]

ou sinon j'en ai une autre:si un nombre infini peut s'ecrire en fraction alors on peut trouver avec un nombre fini:1/3*3=3/3=1

[invite8143fd64]

si on peut écrire un nombre infini en fraction alors on peut trouver un nombre fini:1/3*3=0,33333333333...*3=0,99999 999999...mais aussi3/3
donc0,999999...=3/3=1:S

[invite0eb8b10e]

merci beaucoup pour votre aide Antho07 votre méthode m'a vraiment aidé à comprendre cet exercice puisque je suis encore au collège maintenant je peux faire un exercice comme ça toute seule et ça grace à vous.

[invite8143fd64]

le vol d'une sphere c'est (pi)*diametre au cube*1/6

[invited77bf966]

salut tout le monde .
je suis tombé comme par hasard sur le sujet et je vois qu'il est assez intéressant surtout le fameux "0.9999....=1".
pour ma part il est impossible de le démontrer surtout avec l'astuce de mettre A=0.99999.....
10A=9.999.... ---> 10A-A=9.999.......-0.999......
le problème ( à mon avis ) réside ici car le A a une infinité de décimales ce qui nous empêche de calculer la différence .
supposons B=0.999 . on multiplie B pas 10 on obtient : 10B=9.99 . on se basant sur l'exemple précédant , en multipliant un nombre par 10 c'est "décalé" la dernière
décimale "d'une case" vers la gauche .
revenons a notre A . 10A=9.999.... mais quand on fait 10A-A on vas pas tomber sur le 9 car suivant ce que j'ai dit 10A a une décimale "décalé" ce qui fait qu'il y'aura une décimale dans A qui n'aurait pas d'équivalent dans 10A ( application numérique pour mieux me comprendre : A=0.999 (3 décimales) 10A=9.99 (2 décimales) donc l'opération 10A-A vas donner 9.99-0.999 le troisième 9 de A n'a pas de 9 dans 10A ) donc il est impossible que 10A-A = 9
Mais le problème réside dans la notion infini puisqu'il n'y a pas d'infini plus petit qu'un infini ni d'infini plus grand que l'infini.....comment peut-on faire des soustractions ou des additions sur des infinis ? on accepte que 0.999...=1 d’après ce qu'on m'as dis car il n'y a aucune chose qui nous empêche de mettre 10A-A=9 car tout simplement c'est L'INFINI .

[inviteaf48d29f]

Bonjour,

Non là ce que vous faites consiste simplement à donner des propriétés mystiques à l'infini parce que vous n'en avez pas une approche mathématiques.
Le problème d'écrire 0.999... c'est que le point de suspension n'est pas un véritable symbole mathématique et qu'il faut définir correctement ce qu'on entend par là. Ce qu'on fait en général et ce qui est le plus évident c'est de dire que 0.999... est une façon d'écrire la limite de la série de terme général 9/10^n pour n>0. Dans ce cas là, une fois écrit correctement on n'a pas a "accepter que 0.999...=1", c'est un théorème, ça se démontre.

Je ne peux que vous conseiller de relire attentivement le deuxième post de cette FAQ en essayant de vraiment comprendre ce qu'il y est dit plutôt que de vous baser sur vos idées reçues à propos de l'infini.