FAQ: Questions souvent posées en mathématiques

**martini_bird** · 24/04/2006, 02h00

Bonjour,

ce fil propose d'apporter quelques éléments de réponses à des questions souvent abordées dans cette rubrique. Il est bien sûr amené à évoluer et à être complété. Vos contributions seront donc les bienvenues.

Sommaire

#2 & #4 : Pourquoi 0,999...=1 ?
#3 : Peut-on toujours calculer une intégrale?
#5 : Que signifie le "dx" dans une intégrale ?
#6 : Démonstration de la formule du volume d'une sphère

**martini_bird** · 24/04/2006, 02h03

Pourquoi 0,999...=1 ?

La première chose à faire est de donner du sens à l'expression 0,999... Nous savons que la représentation décimale d'un nombre est une écriture positionnelle additive. Par exemple

$\text{[math]}$

Ainsi on aurait

$\text{[math]}$

Mais comment peut-on additionner une infinité de termes ? Pour celà, nous avons besoin des concepts fondamentaux que sont les suites et leurs limites. Une suite numérique $\text{[math]}$ est simplement une collection numérotée de nombres

$\text{[math]}$

Pour notre exemple la suite à étudier sera :

$\text{[math]}$

Venons à la notion de limite et considérons à titre d'exemple la suite

$\text{[math]}$

De toute évidence les termes de sont de plus en plus petits, c'est-à-dire qu'ils se rapprochent de 0 à mesure que le rang augmente : la suite $\text{[math]}$ est ainsi dite convergente de limite 0. On note :

$\text{[math]}$

La notion de limite permet ainsi de s'intéresser au comportement au voisinage de l'infini : on approche l'infini par le fini et c'est le seul moyen.

Revenons à notre suite $\text{[math]}$ : par définition on aura donc

$\text{[math]}$

Voyons comment calculer cette limite en formant la différence $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

On obtient donc :

$\text{[math]}$

Or d'une part

$\text{[math]}$

et d'autre part la suite

$\text{[math]}$

converge vers 0, si bien qu'en passant à la limite l'égalité (2) on obtient :

$\text{[math]}$

soit

$\text{[math]}$

En combinant les égalités (1) et (3), on a donc bien démontré que 0,999...=1.

Quelques discussions en rapport avec le sujet :

Remarques

- Les suites mentionnées ci-dessus sont des cas particuliers de (sommes partielles de) suites géométriques, étudiées au lycée.

- La plupart des suites ne sont pas convergentes : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , etc.

- La définition rigoureuse de la limite d'une suite dans le cadre d'un espace métrique (comme l'ensemble des nombres réels par exemple) repose sur le fait qu'à partir d'un certain rang, la distance entre les termes de la suite et sa limite éventuelle doit être moindre que toute quantité strictement positive donnée à l'avance.

Définition : soit $\text{[math]}$ une suite numérique et $\text{[math]}$ un nombre strictement positif (aussi petit que l'on veut). S'il existe un nombre L et un entier N tels que pour tous les nombres entiers n supérieurs à N, la distance entre les termes $\text{[math]}$ et L est plus petite que $\text{[math]}$ , alors la suite $\text{[math]}$ est dite convergente de limite L. Dans ce cas (et uniquement dans ce cas), on note : $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

- La convergence d'une suite ne fait appel en réalité qu'à des notions topologiques : une suite $\text{[math]}$ converge vers un point $\text{[math]}$ si pour tout ouvert U contenant $\text{[math]}$ , il existe un rang N à partir duquel tous les termes appartiennent à U. Attention toutefois, une suite peut avoir plusieurs limites dans des espaces non-séparés.

**martini_bird** · 24/04/2006, 02h03

Peut-on toujours calculer une intégrale?

Certaines fonctions comme $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ admettent des primitives¹ qui ne peuvent pas être exprimée à l'aide des fonctions usuelles (fractions rationnelles, exponentielles, logarithmes, fonctions circulaires).

Ce résultat, connu de Liouville dès 1830, est à comparer avec l'impossibilité de résoudre par radicaux certaines équations polynômiales. De fait, c'est la même théorie qui est à l'oeuvre : celle des extensions de corps et des correspondances de Galois. On doit à Ostrowski la formulation moderne en termes de corps différentiels (1946): c'est la théorie de Galois différentielle.

On en parle :

Pour en savoir plus

M1 - [PDF] Algèbre corporelle, par A. Chambert-Loir. (187 pages)
Chapitre 6: théorie de Galois différentielle.

____________________
¹ Une primitive de $\text{[math]}$ est par exemple $\text{[math]}$ .

**danyvio** · 28/10/2006, 08h12

Bonjour ! Concernant l'égalité 1=0,999999..., on peut sans passer par les limites dire :
Soit é quelconque strictement positif. Comme 1-0,999999... = 10 puissance -n (n étant le nombre de 9 derrière la virgule), quand n tend vers l'infini, 1-0.9999... tend vers zéro (on le savait déjà!).

Donc, à partir d'un certain rang, 1-0.9999... est strictement plus petit que é.
Etant strictement plus petit que tout nombre strictement positif arbitrairement choisi, il ne peut qu'être nul. D'où 1=0.999999... CQFD.
Question : tout nouveau sur ce site, comment entre t-on les formules ? Merci

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**martini_bird** · 19/11/2006, 10h31

Que signifie le "dx" dans une intégrale ?

Réponse rapide

Il faut bien préciser quelle est la variable d'intégration : dx remplit ce rôle.

________________

Réponse de physicien
Pourvu que f soit une fonction suffisamment régulière, l'intégrale $\text{[math]}$ mesure l'aire de la partie du plan limitée par les droites d'équations $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et la courbe d'équation $\text{[math]}$ .

Or la méthode des rectangles pour évaluer cette aire permet d'écrire que :

$\text{[math]}$

où $\text{[math]}$ . Le dx est ainsi vu comme l'analogue infinitésimal de $\text{[math]}$ .

________________

Réponse faisant appel à la théorie de la mesure

Dans la construction de Lebesgue, une intégrale s'évalue relativement à une mesure $\text{[math]}$ . On note cette intégrale

$\text{[math]}$

et dans ce cadre $\text{[math]}$ est la mesure de Lebesgue sur $\text{[math]}$ .

________________

Réponse géométrique

Le fait est que l'on n'intègre pas des fonctions mais des formes différentielles. Soit M une variété différentielle : brutalement, une forme différentielle est une section du fibré cotangent (ou plus généralement du fibré des p-formes). L'important pour notre propos est qu'une forme différentielle de degré 1 est une application qui à chaque point $\text{[math]}$ associe une forme linéaire $\text{[math]}$ , qui se projète sur la base $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ . Cette construction ne présente bien sûr peu d'intérêt pour l'étude de fonctions d'une variable réelle.

**Seirios** · 02/01/2007, 13h08

Démonstration de la formule du volume d'une sphère :

Considérons une sphère de rayon $\text{[math]}$

[Voir les autres notations sur la pièce jointe]

Exprimons $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ et de termes constants :

D’après le théorème de Pythagore, on a : $\text{[math]}$

D’où $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$

On en conclut que pour toute sphère de rayon $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$

invite7ffe9b6a · 19/10/2007, 17h56

Pour montrer que 0,999999.......=1, y'a plus simple comme démo.
soit a=0,99999999.....
alors 10a=9,99999....
et 10a-a= 9,999999....-0,999999999=9
or 10a-a=9a=9
d'où a=1.

Bien sur ta démo est plus intéressante mais pour ceux qui en veulent une beacoup plus simple voilà.

Cette méthode la permet de manière général de retrouver à quelle fraction correspond un nombre à virgule ne se terminant pas mais possèdant une périodicité. IL suffit de multiplier par 10^(la longueur de la période et de faire la différence pour ensuite en déduire la fraction par différence comme précédemment.

exemple avec b=2,546 546 546 546....
1000b=2546,546 546....
soit 999b=2546 et finalement b= 2546/999

invite7ffe9b6a · 19/10/2007, 17h58

Pour montrer que 0,999999.......=1, y'a plus simple comme démo.
soit a=0,99999999.....
alors 10a=9,99999....
et 10a-a= 9,999999....-0,999999999=9
or 10a-a=9a=9
d'où a=1.

Bien sur ta démo est plus intéressante mais pour ceux qui en veulent une beacoup plus simple et compréhensible dès le collège voilà.

Cette méthode la permet de manière général de retrouver à quelle fraction correspond un nombre à virgule ne se terminant pas mais possèdant une périodicité. IL suffit de multiplier par 10^(la longueur de la période et de faire la différence pour ensuite en déduire la fraction par différence comme précédemment.

exemple avec b=2,546 546 546 546....
1000b=2546,546 546....
soit 999b=2546 et finalement b= 2546/999

invitedf952a08 · 29/10/2007, 21h42

on peut aussi demontrer que 0.9999...=1 par :
on a 1/3 = 0.333.....
1/3*3=1 ou bien
1/3*3=0.333....*3 =0.999999....
alor on a 1=0.99999...

invite052e92ca · 26/11/2007, 17h33

antoo7 :

999b = 2544

inviteaffd5918 · 01/01/2008, 01h35

Envoyé par martini_bird

Peut-on toujours calculer une intégrale?

Certaines fonctions comme $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ admettent des primitives¹ qui ne peuvent pas être exprimée à l'aide des fonctions usuelles (fractions rationnelles, exponentielles, logarithmes, fonctions circulaires).

voilà, je voulais juste signaler que l'intégrale sur lR de
$\text{[math]}$
bien que n'admettant pas de primitive est calculable;
valeur:
racine de pi

par contre sauf erreur de ma part,
la longueur d'arc de l'ellipse, elle, est une intégrale non calculable;
c'est une nouvelle fonction, dont tout comme cos ou sin, on peu en obtenir une approximation aussi fine que l'on veut.
je la chercherai demain dans mes cours et je donnerai la formule au plus tôt, promis!

**rajamia** · 01/01/2008, 01h58

salut

pour montrer $\text{[math]}$ je pense si on pose $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ qui donne $\text{[math]}$ et par suite $\text{[math]}$ .

voila

**thomas5701** · 18/08/2008, 20h51

Bonjour à tous, pour 0.999...=1 on peut aussi partir du principe:

0.9999...= 0.333.. + 0.333... + 0.333... =1/3 + 1/3 + 1/3= 3/3 = 1

Ce n'est pas un raisonnement très complexe, mais sa tombe juste, alors pourquoi pas?

invite56409bbf · 19/08/2008, 20h49

mais comment montres tu que 0.3333 = 1/3 ?

**bubulle_01** · 19/08/2008, 21h52

$\text{[math]}$

Pour ne pas faire compliqué ...

Sinon, on peut faire tout simplement la division de 1 par 3 ...

**Weensie** · 19/08/2008, 22h13

Pourquoi n'y a t-il pas de méthode pour résoudre P(x) = 0 pour degP(x)> 5 (ou égal) ?

inviteffffb8de · 21/10/2008, 18h21

je crois que je suis encore trop jeune pour comprendre

invite16f1fd72 · 22/10/2008, 20h47

Bonjour je m'appelle Diego j'ai 12 ans et demi, et je m'interresse aux longitudes et latitudes,je voudrais savoir comment on fait pour calculer une longitude et une latitude?

Merci Beaucoup

Diego

Si je ne suis pas sur la bonne conversation c'est normal c'est parceque je ne trouve pas la bonne

invitee7f085b0 · 20/03/2009, 21h12

Envoyé par thomas5701

Bonjour à tous, pour 0.999...=1 on peut aussi partir du principe:

0.9999...= 0.333.. + 0.333... + 0.333... =1/3 + 1/3 + 1/3= 3/3 = 1

Ce n'est pas un raisonnement très complexe, mais sa tombe juste, alors pourquoi pas?

Je ne suis pas d'accord, 1/3=1/3.
0.33333333.... est seulement une valeur approchée et non pas la valeur exacte, ou bien il faut repasser par le raisonnement initial...

**hhh86** · 21/03/2009, 16h16

Oui c'est très mal dit, en effet

**Seirios** · 04/04/2009, 08h52

0, 3333 est une valeur approchée de 1/3, de même que 0,33333333333, mais pour moi, l'écriture 0,3333... signifie qu'il y a une infinité de 3 après chaque 3, donc cette écriture peut éventuellement constituée une valeur qui n'est pas approchée, non ?

**bubulle_01** · 04/04/2009, 13h25

L'assertion "0.333...=1/3" est totalement vraie (si bien sûr on comprend qu'il y a une infinité de 3 dans la partie fractionnaire).

**mimo13** · 02/05/2009, 14h07

Envoyé par Antho07

Pour montrer que 0,999999.......=1, y'a plus simple comme démo.
soit a=0,99999999.....
alors 10a=9,99999....
et 10a-a= 9,999999....-0,999999999=9
or 10a-a=9a=9
d'où a=1.

Salut
Je sais que ce sujet n'a plus été abordé dans le forum depuis bien un bout de temps moi je viens de le lire et je trouve que c'est très interessant comme topic mais voila j'ai un petit problème en ce qui concerne cette demonstration:

J'ai choisi de refaire cette démonstration mais en posant:
$\text{[math]}$ après on peut faire tendre n vers l'infini.
Mais a la fin je tombe sur 1=1

Si quelqu'un pouvait m'éclairer sur ce sujet j'en serait tres reconnaissant.

**bubulle_01** · 02/05/2009, 14h40

Envoyé par mimo13

Salut
Je sais que ce sujet n'a plus été abordé dans le forum depuis bien un bout de temps moi je viens de le lire et je trouve que c'est très interessant comme topic mais voila j'ai un petit problème en ce qui concerne cette demonstration:

J'ai choisi de refaire cette démonstration mais en posant:
$\text{[math]}$ après on peut faire tendre n vers l'infini.
Mais a la fin je tombe sur 1=1

Si quelqu'un pouvait m'éclairer sur ce sujet j'en serait tres reconnaissant.

D'une part, ce serait plutôt $\text{[math]}$
Après, $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

**mimo13** · 02/05/2009, 14h43

Envoyé par bubulle_01

D'une part, ce serait plutôt $\text{[math]}$
Après, $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Ah!! Au début j'ai fait la démonstration sans limite.
Je vois très bien maintenant merci.

invite5c2ce3dd · 30/06/2009, 18h24

L'assertion "0.333...=1/3" est totalement vraie (si bien sûr on comprend qu'il y a une infinité de 3 dans la partie fractionnaire).

Comment un nombre peut-il être égal à une quantité non finie?
Nous disons que pi est environ égal à 3.1415... car nous ne pouvons pas savoir toutes les décimales (elles sont infinies).
O,333... est également une quantité non finie qui ne peut être complètement égale une une quantité finie comme 1/3. Ce n'est pas parce que nous connaissons ses décimales (qui seront toujours 3) que le nombre est différent de pi.

En toute logique 0.333... serait environ égal à 1/3 et donc 0.999... serait approximativement égal à 1, ce qui est vrai (aucune contradiction).

Depuis quand pouvons nous placer une égalité entre un nombre non fini et une nombre fini (même si nous connaissons les décimales qui se répètent)?

**Thorin** · 30/06/2009, 18h26

toujours la même question : comment définis-tu, rigoureusement, le nombre "0.333..." ?
PS : c'est quoi un nombre fini ? un nombre non fini ?

invitedb2255b0 · 30/06/2009, 18h50

Moi on m'as dit quand j'étais tout p'chtio qu'un nombre avec un nombre fini de chiffre après la virgule était un décimal tandis qu'un nombre avec un nombre infini de chiffre derrière la virgule étais un rationel.
On a donc (1/3) € |Q

1/3 est donc tout à fait égal à 0.333~

**Thorin** · 30/06/2009, 18h52

un nombre avec un nombre infini de chiffre derrière la virgule étais un rationel.

oui enfin pas toujours

invitedb2255b0 · 30/06/2009, 18h54

0.333 serais enfait, comme défini dans le tout premier post, égale à la trois fois la sommes des 10^-k pour k allant de 1 à n et lorsque n tend vers l'infini.

$\text{[math]}$

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