Simplification de fraction algébrique

[Arnauddu31]

Bonjour,

Il y a quelques jours, faisant des cours par correspondance, j'ai réalisé l'exercice suivant, dont la consigne est: "Simplifier les expressions algébriques suivantes". Parmi ces expressions, j'ai bloqué sur quelques unes, dont celle ci:

a/(a-b)(a-c) + b/(b-c)(b-a) + c/(c-a)(c-b)

Voici la correction:

= - a/ (a-b)(c-a) + -b/(b-c)(a-b) + -c/(c-a)(b-c) ETAPE 1

= - a(b-c)/(a-b)(b-c)(c-a) + -b/(c-a)/(a-b)(b-c)(c-a) + -c(a-b)/(a-b)(b-c)(c-a) ETAPE 2

= - ab + ac -bc +ab -ac +bc/ (a-b)(b-d)(c-a) = 0 ETAPE 3



Voici ma question: Pourquoi à l'étape 1, on retranche "- a " à "a". J'ai bien compris que c'est pour que cela soit égal à 0, mais je pensais que dans des fractions, on pouvait uniquement diviser ou multiplier le haut et le bac d'un fraction par une meme quantité pour que cela reste égal.

Et si j'ai bien compris, simplifier veut dire écrire l'expression de manière à ce quelle soit le plus proche possible de 0 ( ou qu'elle soit égale à 0 comme ici).

Merci à celles et ceux qui pourront m'aider,

Cordialement.
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[gg0]

Bonjour.

A l'étape 1 on ne retranche rien du tout ! On transforme les équations pour avoir des facteurs identiques au dénominateur, (a-b), (b-c) et (c-a). Comme c-a=-(a-c), on change de signe le dénominateur, donc pour que ça reste la même fraction, il faut aussi changer le signe du numérateur. C'est une propriété classique des fractions : a/b=(-a)/(-b).

Ici, l'expression "simplifier" a tout son sens puisqu'on ne peut pas faire plus plus simple. Généralement, c'est trouver une expression moins longue, mais il n'y a pas de rapport avec 0. le verbe simplifier est un verbe courant, qui a son sens courant.

Par contre, tu écris faussement - ab + ac -bc +ab -ac +bc/ (a-b)(b-d)(c-a) alors que c'est ( - ab + ac -bc +ab -ac +bc)/ (a-b)(b-d)(c-a).

Et après simplification, on obtient bien 0, mais pas parce qu'on le voulait ("J'ai bien compris que c'est pour que cela soit égal à 0"), mais parce que ça vaut ça. Sous une forme bien cachée l'expression du départ où a, b et c sont trois nombres distincts est le nombre 0.

Cordialement.

[Arnauddu31]

Bonjour "gg0", je vous remercie de m'avoir répondu.

J'avais ignoré effectivement cette propriété des opposés. Y' a t'il une méthode particulière pour simplifier ce type d'expression ? Quand je parle de méthode, je sais bien qu'il fait utiliser les règles basiques mais je veux dire pour etre astucieux. Le but c'est toujours de chercher en premier lieu, si j'ai bien compris, un facteur commun du numérateur et dénominateur.

Merci à vous,

Cordialement.

[gg0]

Il y a des tas d'astuces de simplification, mais c'est toujours basé sur les règles de calcul (développement, factorisation, fractions, puissances, égalités remarquables, ..). Pour une somme de fraction, l'une des idées possibles est de transformer en une seule fraction (on sait faire : réduction au même dénominateur) et de voir ce qu'on peut faire du numérateur.
Attention : il n'y a aucune raison pour qu'une expression prise au hasard se simplifie. Par exemple même a²+b² ne se simplifie pas. On donne donc en exercice des expressions très particulières.

Rappel : Pour trouver un dénominateur commun, on a intérêt à voir les facteurs communs à deux dénominateurs, pour ne les utiliser qu'une fois.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Arnauddu31]

Merci "gg0".

En faite, ce que je n'avais pas compris, c'est le fait qu'à la première fraction de notre somme, a/(a-b)(a-c), lorsqu'on la transforme en = - a/ (a-b)(c-a), le ( a-b) lui ne subit pas directement la transformation, il a subi car il est distribué dans la parenthèse.

Cordialement.

[gg0]

(a-b)(a-c) est un produit. On remplace a-c par son opposé -(a-c)=c-a, donc on change de signe un terme du produit; d'après la règle des signes, ça change le signe du produit, et pour conserver la même fraction (*) on change aussi le signe du numérateur.

(*) bien évidemment, dans un calcul, on ne fait que remplacer des nombres ou des expressions par quelque chose qui a la même valeur.

[Arnauddu31]

Merci.

(a-b)(a-c)= aa - ac -ba + bc. Ensuite, je change le signe de "a" ( celui des deux parenthèse) a X (-a) - (-a)c - b(-a) + bc = -aa + ac + ba - bc.

Cordialement.

[gg0]

Désolé,

je ne vois pas pourquoi tu ferais ces calculs.

J'ai l'impression que tu es en train de compliquer tout. Si tu changes le signe de a dans (a-b)(a-c), même développé, tu changes de valeur sans aucun intérêt.

N'oublies pas que quand tu écris (a-b)(a-c), a, b et c sont des nombres fixés (mais pas par toi, on ne t'a pas dit leur valeur, et d'aillerus dans le calcul, on s'en moque) et que (a-b) et (a-c) sont aussi des nombres, donc que toutes les règles de calcul s'appliquent à (a-b); et aussi, toutes les règles de calcul s'appliquent à (a-c).
Par contre, dans une somme, si tu changes le signe d'un terme ça donne quelque chose qui n'a plus de rapport simple avec ce que tu avais : a+b et -a+b peuvent être très différents, suivant les valeurs de a et de b. Regarde ave a=1, b=2, puis a=2 et b=22, puis a=-3 et b=17.
On ne s'amuse donc pas à transformer les écritures sans bonne raison, sans appliquer une règle qui le justifie (qui dit que c'est égal).

[Arnauddu31]

En faite, voilà d'ou vient ma difficulté: si je reprends la règle suivante: u/v=(-u)/(-v) et que je l'applique à la première fraction de ma somme, cet à dire la fraction suivante: a/(a-b)(a-c), dans ma tête, voilà ce que comprends: le "u"= a et le "v" =(a-b)(a-c), donc "-u" = -a et "-v" = -(a-b)(a-c).

Pour l'instant, mon raisonnement est t'il bon ?

Cordialement.

[gg0]

Oui.

Mais as-tu vraiment lu le message #2 ???
Et mettre - devant (a-b)(a-c), ce n'est pas changer le signe de a. Sérieusement, avec a=5, b=3 et c=2, (a-b)(a-c)=2*3=6 et -(a-b)(a-c)=-6.
Rien à voir avec remplacer 5 par -5 : (-5-3)(-5-2)=(-8)*(-7)=56

[Arnauddu31]

Ensuite, voici ce que j'ai compris: si u/v=(-u)/(-v), alors a/(a-b)(a-c) = - a/ (a-b)(c-a), mais alors pourquoi ne pas écrire la deuxième fraction ainsi: -a/-(a-b)(a-c) ? En faite, c'est cette égalité qui me dérange: (a-b)(a-c) =-(a-b)(a-c) Là, je comprends, mais: (a-b)(a-c) = (a-b)(c-a) =-(a-b)(a-c), là, je ne vois plus le rapport. Les termes ont été changé. C'est la commutativité de la multiplication qui fait que si on change les terme, cela ne change pas le résultat ?

Cordialement.

[gg0]

Message # 2 : "Comme c-a=-(a-c), ..."

C'est une transformation tellement utile que tu dois la connaître : - une différence, c'est la différence écrite dans l'autre sens, -(6-2)=2-6 (C'est d'ailleurs ainsi qu'on calcule 2-6 : on soustrait 2 à 6, puis on met -)
Ensuite : -(a-b)(a-c)=-(a-c)(a-b)=[-(a-c)](a-b)=(c-a)(a-b)=(a-b)(c-a)

Attention à ce que tu écris :
"Là, je comprends, mais: (a-b)(a-c) = (a-b)(c-a) =-(a-b)(a-c), ", bien sûr que tu ne peux pas comprendre, puisque c'est faux (partie en gras). Et personne n'a jamais dit que (a-b)(a-c) est égal à (a-b)(c-a).

Si tu n'as toujours pas commencé à comprendre quel est le calcul fait, inutile que je continue, tu ne tiens pas compte sérieusement de ce que j'explique. Que tu écrives maintenant "Là, je comprends, mais: (a-b)(a-c) = (a-b)(c-a) " est très inquiétant pour ce qui peut se passer dans ta tête. La seule chose qui a été affirmée est : (a-b)(c-a) =-(a-b)(a-c).

Cordialement.

[Arnauddu31]

D'accord, je comprends mieux:

u/v=(-u)/(-v), par conséquent, vu que "v"=(a-b)(a-c), alors "-v" = -(a-b)(a-c), voilà ce que j'ai compris. Donc si je reprends votre message: "avec a=5, b=3 et c=2, (a-b)(a-c)=2*3=6 et -(a-b)(a-c)=-6.".

Et pour (a-b)(c-a), si je reprends les mêmes valeurs, cela fait 2*(-3)= -6

Donc: a/(a-b)(a-c)= 5/(5-3)(5-2)= 5/2*3= 5/6

- a/(a-b)(c-a)= -5/(5-3)(2-5)= -5/2*(-3)= -5/-6

Cordialement.

[Arnauddu31]

Excusez moi, je me suis trompé juste au dessus, je vais rectifier !

[Arnauddu31]

Bonjour,

Je m'excuse de ne pas avoir rectifié avant. Donc, je reprends avec les valeurs suivantes: a=5, b=3 et c=2

Donc: -(5-3)(5-2)= -(5-2)(5-3)= ((-5-2))(5-3)=(2-5)(5-3)=(5-3)(2-5).

Merci "gg0" pour votre aide précieuse. Je ne voyais pas le lien entre tout cela: -(a-b)(a-c)=-(a-c)(a-b)=[-(a-c)](a-b)=(c-a)(a-b)=(a-b)(c-a).

Faudra que je me familiarise avec les fractions algébriques car ce n'est pas si facile que cela, notamment pour les simplifications, j'espère que cela ne va pas trop me pénaliser.

Cordialement.

[gg0]

Tu n'en as pas marre d'écrire des calculs faux : " -(5-3)(5-2)= -(5-2)(5-3)= ((-5-2))(5-3)" ?

Avant de te familiariser avec les fractions algébriques, apprends à calculer avec les parenthèses; et à manipuler les nombres relatifs. Ça ne sert à rien de faire des calculs compliqués si on se trompe à chaque étape.

[Arnauddu31]

Désolé, j'ai copié deux fois le meme calcul.

Cordialement.