calcul compliqué...exponentielles

Quetzalcoatl · 01/05/2006 - 13h04

Bonjour, je révise actuellement mon bac et je tombe sur un calcul assez difficile.

( 0.8 X (e^-0.2t)) / ( 1+ 4X(e^-0.2t))² > 0.9

j'ai commencé par mettre 0.9 sur le meme dénominateur et j'obtiens ainsi cela:

(0.8e^-0.2t) > 0.9 ( 1 + 4e^-0.2t)²

et la, ca devient plus compliqué...j'ai essayé de développer la parenthèse de gauche ( identité remarquable ) mais je me retrouve avec un (4e^-0.2t)² qui me gène énormément.

Pouvez vous m'éclaircir sur le sujet ? merci

nissart7831 · 01/05/2006 - 13h18

Bonjour,

je suppose que tu veux trouver les t qui vérifient cette inéquation.

Un conseil, pour ne pas t'embrouiller avec les exponentielles dans un premier temps, pose X = exp(-0,2t).
Résouds l'inéquation en X (classique) et ensuite réinjecte l'exponentielle dans les solutions.

Attention le fait de manipuler l'exponentielle te rajoutera des conditions sur X (par exemple l'exponentielle est toujours positive).
Je pense que tu as compris l'idée.

Quetzalcoatl · 01/05/2006 - 13h21

oui je v essayer comme ca je vous tiens au courant!

Quetzalcoatl · 01/05/2006 - 13h32

j'arrive donc, après avoir posé X = exp(-0,2t)

a,

0,8X > 0.9 ( 1+4X )²
0.8X > 0.9 ( 1² + 8X + 16X² )
0.8X > 0.9 + 7.2X +14.4 X²
0.8 X - 0.9 - 7.2X - 14.4X² > 0
- 6.4X - 14.4 X² - 0.9 > 0

solutions: -0.06 et -2.19

est ce bon ? me suis je trompé ?

nissart7831 · 01/05/2006 - 13h55

- 6.4X - 14.4 X² - 0.9 > 0, ça revient à :

14.4 X² + 6.4X + 0.9 < 0

Ca fait un discriminant négatif si je ne me trompe pas, donc pas de solutions réelles qui annullent la polynôme. non ?

Tu travailles dans $\mathbb{R}$ ou dans $\mathbb{C}$ ?

Si tu es dans $\mathbb{R}$ et que je ne me suis pas planté dans le discriminant, je te laisse conclure.

Tonton Nano · 01/05/2006 - 13h55

Bonjour

D'après moi, il y a une erreur à la dernière étape.
Le discrimiant de l'équation du second degré est négatif ... donc nombres complexes !

Quetzalcoatl · 01/05/2006 - 14h03

Le discriminant est bien négatif! il n'y a donc pas de solutions en effet...mais j'ai remplacé exp-0.2t = X alors que dois je faire ?

ca me semble bizarre de trouver ca étant donné que je suis censé trouver un nombre t ( correspondant au rang de l'année concerné ) m'indiquant a quel moment les ménages seront équipés a plus de 90%! ( d'ou le 0.9 ). Pouvez vous vérifier mon calcul ?

Quetzalcoatl · 01/05/2006 - 14h13

ps: je suis sur que j'ai bien recopié l'énoncé..cela voudrait til simplement dire, que jamais les ménages ne sont équipés au dela de 90% ?

Tonton Nano · 01/05/2006 - 14h20

S'il n'y a pas d'erreurs avant, ça veux bien dire que le seuil de 90% n'est pas dépassable.

Quetzalcoatl · 01/05/2006 - 14h22

et pourtant à la calculatrice , on m'affirme que oui...je ne sais vraiment pas ou j'ai pu faire une erreur

nissart7831 · 01/05/2006 - 14h44

Envoyé par Quetzalcoatl

Le discriminant est bien négatif! il n'y a donc pas de solutions en effet...mais j'ai remplacé exp-0.2t = X alors que dois je faire ?

Il n'y a aucun X qui annulle le polynôme. Pour trouver le signe de ton polynôme (14.4 X² + 6.4X + 0.9 < 0), il suffit de prendre une valeur quelconque. Par exemple, X = 0 (même si ça ne correspond à rien pour l'exponentielle) et la valeur est 0.9 donc strictement positive.
Il n'existe donc aucune solution à ton inéquation en X. De même, il n'existe aucun t qui vérifie ton inéquation.

Tout cela s'entend dans $\mathbb{R}$ bien sûr.

Plus précisément, la fonction 0,8X/(1+4X)² atteint son maximum (sur $\mathbb{R}_+$ pour l'exponentielle) en X = 1/4. La fonction vaut alors 0,05.
On est loin du 0,9. J'espère ne pas avoir fait d'erreur de calcul. Vérifie, c'est mieux.

Donc pour ton exercice, il y a doit avoir une erreur en amont ou alors c'est la réponse attendue.

Quetzalcoatl · 01/05/2006 - 14h50

Je ne comprend pas pourquoi tu as pris la fonction 0.8X / ( 1+4X )² et pas la fonction de départ avec les exponentielles...

Quetzalcoatl · 01/05/2006 - 14h53

remarque le calcul concerne la dérivée, et pas la fonction...donc ca n'a peut être pas de rapport direct avec le taxu d'équipements des ménages

nissart7831 · 01/05/2006 - 15h30

Envoyé par Quetzalcoatl

Je ne comprend pas pourquoi tu as pris la fonction 0.8X / ( 1+4X )² et pas la fonction de départ avec les exponentielles...

Emporté par l'élan. Désolé.

L'idée, c'était de trouver le maximum de la fonction (0,8 exp(-0,2t)/(1+4exp(-0,2t))². Si le maximum est inférieur à 0,9, tu constateras bien que ton inéquation ne peut être vérifiée. Ce sera une preuve de plus, au cas où on aurait fait une erreur de calcul précédemment.
Et pour l'étudier, tu passes par la dérivée.