Exo de probabilités

[inviteab4cc462]

Salut
Pour les vacances notre professeur de mathématiques nous a donnée un exercice de probabilité , on m'a dit pour m'aider qu'il faut que j'utilise la dérivation , puis un tableau de signe et de variation , mais perso je ne sais pas comment m'y prendre pouvez vous m'aider svpp

Voici l'éxo :
Une urne contient des boules rouges et des boules noires . Sur les n boules , 5 sont rouges.
Un joueur tire au hasard successivement et avec remise deux boules de l'urne .
On note À l'événement "les deux boules tirées sont de couleur différentes ".
À) pour qu'elle valeur de n la probabilité de l'événement À est-elle maximale ?
B) même question en supposant cette fois que le tirage est sans remise .
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[gg0]

Bonjour.

Si n vaut 7, tu sais qu'il y a 2 boules noires et 5 rouges, et tu sais calculer la probabilité que les deux boules sont de couleur différentes. Tu trouves combien ?

Maintenant généralisons :
Si n vaut n (>5), tu sais qu'il y a n-5 boules noires et 5 rouges, et tu sais calculer la probabilité que les deux boules sont de couleur différentes. Tu trouves combien ?

Bien évidemment, tu as trouvé un résultat qui dépend de n, une fonction de n, que l'on pourra étudier. On y reviendra, fais déjà les deux calculs simples ci-dessus.

Cordialement.

[inviteab4cc462]

Tout d'abord merci de m'aider , j'ai fais comme vous aviez dit si n vaut 7
Alors j'ai fais un arbre pour me simplifier la tâche , en tout j'ai 4 issues ensuite j'ai calculé la probabilité des branches c'est-à-dire:
NN = 2/7x 2/7 = 4/49
-NR=2/7x5/7=10/49
-RN =5/7x2/7=10/49
RR =5/7x5/7=25/49

Mais en utilisant la lois de probabilité si le joueur tire une boule rouge alors la probabilité est 5/n , et si le joueur tire une boule noire alors la probabilité est (n-5)/n
Ensuite j'ai calculé la probabilité comme au dessus mais avec 5/n et (n-5)/n
Donc j'ai obtenu ces résultats :
-NN = (n-5)/n X (n-5)/n = n(au carrée ) -10n-25/n
-NR=(n-5)/n X 5/n = 5n -25/n
-RN = 5n-25/n
-RR=5/n x 5/n =25/n

Ensuite dans l'énoncé c'est écrit A l'évènement" 2 boules tirées sont de couleurs différentes"
C'est alors que j'ai remarqué que dans l'arbre j'ai deux issues qui donne 2 boules de couleurs différentes donc je pensais faire
P(À)=p(NR)+p(RN)
P(À)=2 X (car il y'a deux branches) (5n-25)/n +(5n-25)/n
P(À) =20n-100/n
Ducoup après j'aurais fais un tableau de signe et de variation en utilisant la dérivation mais je ne sais pas si c'est ça qu'il faut faire.
Cordialement

[gg0]

Si tu multiplies par 2 parce qu'il y a 2 branches, tu fais n'importe quoi.avec 15 branches tu multiplies par 15 ?? Que fais-tu d'habitude pour calculer les probabilités données par plusieurs branches ??

Tu obtiens une fonction P(a)=f(n) dont il faut déterminer pour quelle valeur de n elle est maximum.
Dans un premier temps, on peut regarder ce que donnerait f(x) où x est un réel quelconque, et on trouvera (cours de première sur les dérivées) pour quelle valeur de x on a un maximum. Mais n n'est pas un réel quelconque, c'est un entier. En utilisant les variations de f(x), tu pourras trouver ce qui se passe.

Bonne réflexion et bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Aie,

j'ai raté une étape de ton calcul, les résultats des branches dans le cas général sont faux ! Tu n'as pas repris le même calcul que pour n=7? D'ailleurs, pour RN = 5n-25/n , qu'il faut écrire RN = (5n-25)/n, les parenthèses, c'est pas pour faire beau, avec n=10, ça donne (50-25)/10=2,5. Un peu beaucoup pour une probabilité, non ???

[inviteab4cc462]

Et bien j'ai multiplié par 2 car il y'a la branche -NR et -RN
D'habitude j'utilise des puissances , enfin ça dépends des exercices enfaite.
Donc la il faut mettre au carrée n'est-ce pas ?

Donc je vais refaire le même travail , et ensuite je vais étudier le signe et la variation de f(x) et trouver grâce à ça le maximum .

Merci pour votre aide.

[gg0]

Ben non,

les probabilités des branches (événements incompatibles) s'additionnent. C'est tout ! Revois ton cours de probas, c'est urgent ! Tu es parti sur "je fais n'importe quoi, on me dira". Ce n'est pas sérieux.
En plus tu as les résultats pour n=7, donc tu peux vérifier.

Inutile d'étudier une fonction fausse.

[inviteab4cc462]

Et bien là je sèche je suis navrée , je ne sais pas
Pourtant en multipliant n-5/n X 5/n
On obtient bien cela.
La probabilité de tirer une boule rouge est 5/n
Et la probabilité de tirer une boule noire est (n-5)/n .

[gg0]

Tu sais multiplier des fractions de dénominateur 7, pas des fractions de dénominateur n ???

[inviteab4cc462]

Bien si ce n'est pas ça la réponse , comment fais-ton pour trouver n ?
Il suffit juste d'additionner les deux probabilité et on obtient une fonction alors et celle-ci nous sert de fonction à étudier ?
Cordialement

[inviteab4cc462]

C'est ce que j'ai fais j'ai multiplié comme il fallait car j'obtiens le même résultat.

[inviteab4cc462]

Ah non enfaite je me suis trompé je viens de refaire mes calculs , encore merci de votre aide

[inviteab4cc462]

Ah non enfaite je me suis trompé je viens de refaire mes calculs , encore merci de votre aide