primitive

[ansset]

remarque et suggestion :
(1/2)x²+2x est une primitive de ta fonction.
par exemple F(x)=(1/2)x²+2x -6 a la même bonne dérivée : x+2.
si tu veux tracer une courbe trace plutôt celle là qui vaut 0 en x=2, ce sera peut être plus "parlant".
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[BaptisteBaptiste]

Maintenant, que constatons nous dans le repère ? On constate que la primitive passe bien au dessus de notre intégrale et donc de notre fonction affine ( qui est sa dérivée) entre x=3 et x=8.

Si on prolonge la droite x=3 par exemple, ce n'est qu'à l'ordonnée 10 qu'elle atteint la primitive... Pour la droite x=8, on fait de meme, on la prolonge jusqu'à ce qu'elle atteigne la primitive. Maintenant, tu vas sans doute comprendre mon incompréhension

Si je veux donc calculer mon intégrale de de a à b ( ou a est x=2 est b et x=8), je vais faire F(b) - F(a), or, il y a une partie l'intégrale qui va se retrouver au dessus de la fonction affine entre x=3 et x=8.

Je ne vois pas la relation entre cette primitive qui passe beaucoup plus haut et cette fonction affine....

[ansset]

Je ne voix pas la relation entre cette primitive qui passage beaucoup plus haut et cette fonction affine....

relis mon mess précédent. trace plutôt F(x)=(1/2)x²+2x -6 qui est aussi une primitive
et par ailleurs que donnait le calcul pur. ? F(b)-F(a)

[BaptisteBaptiste]

J'ai pas compris... On dit de chercher la primitive de x + 2, donc, je vais "atterrir" beaucoup plus haut vu que la primitive est plus haut. Par exemple, la primitive de 1*3 + 2 ( si je replace x par 3) va etre 10....

[BaptisteBaptiste]

Donc F(b)- F(a)=F(8)-F(3). Donc, dans ma tete, F(8) est la primitive de 8 ?

[ansset]

Donc F(b)- F(a)=F(8)-F(3). Donc, dans ma tete, F(8) est la primitive de 8 ?

c'est mal dit mais F(8) est bien la valeur de la primitive en x=8
1) prenons ta primitive
F(x)= x²+2x
F(8)=48 ; F(2)=6 ; F(8)-F(2)=42. (*)
tu peux remarquer que cela correspond bien à la surface sous ta droite composée d'un rectangle de surface
4*6=24 et d'un triangle de surface
(1/2)*6*6=18
la somme faisant bien 42.

ensuite ne t'étonne pas que la courbe passe au dessus ou au dessous, puisque tu comparerais une courbe avec une surface.

(*) si tu choisis ma primitive soit (1/2)x²+2x-6 celle ci vaut 0 en x=2 et exactement 42 en x=8 .( soit la surface totale )
et en chaque point x' entre 2 et 8 , sa valeur F(x') donne la surface sous la courbe entre x=2 et x= x'

[ansset]

ps : soit précis , tu es entre 2 et 8 ou entre 3 et 8 , parce que un coup c'est l'un , un coup c'est l'autre !!!

[BaptisteBaptiste]

Pourquoi as tu pris ta primitive et pas la mienne, c'est pareil ?

Peut ton reprendre la mienne, sinon je vais m'embrouiller.... Mais pourtant on n'a bien une partie qui est au dessus, je ne comprends pas, désolé on tourne en rond, c'est pour cela que je voulais un schéma....

[BaptisteBaptiste]

PARDONS: c'est x=3 comme au début !!!!

[BaptisteBaptiste]

CALCULONS L INTEGRALE ENTRE 3 ET 8:

Donc: F(3) c'est bien l'image de 3 par la primitive 1/2x carré + 2X, soit 10

F(8)= 48 Ok ?

F(8)-F(3)= 48-10= 38, mais on n'a pourtant l'intégrale qui se prolonge au delà de la fonction affine

[ansset]

Maintenant, on va imaginer que ma fonction affine a pour écriture f(x)= x + 2, et je veux calculer l'intégrale entre 2 et 8 ( donc entre les droites d'équations x= 2 et x=8).

Si je veux donc calculer mon intégrale de de a à b ( ou a est x=2 est b et x=8),....

PARDONS: c'est x=3 comme au début !!!!

faut pas exagérer quand même.

sinon, tu veux comparer/visualiser la courbe d'une fonction / courbe d'une de ses primitives.
ça ne donnera rien de bien visuel au premier abord.
essayes de faire de même à l'inverse c-a-d comparer la courbe d'un polynôme du second degré avec sa dérivée.

ps: comme tu as insisté je t'ai proposé une autre primitive avec laquelle tu peux "un peu" mieux voir les choses.

mais 1) tu n'en veux pas
2) je me sens à cours d'explication d'autant que tu sembles reconnaître ( je l'espère ) que la formule marche

bref, j'abandonne.

[BaptisteBaptiste]

Ansset, je vais faire un schéma pour te montrer ce que je vois dans ma tete....

[BaptisteBaptiste]

Ca y est, je crois avoir compris:

Reprenons depuis le début: J'ai une fonction affine x + 2, je veux calculer l'intégrale entre les équations x=3 et x=8. Sachant que sa primitive est 1/2x carré + 2x, cela fait donc F(8)-F(3)= 48-16,5 = 31,5 unités d'aires.

En faite, ce que je n'avais pas compris ( ce que je comprends un peu mieux) c'est cela (j'avais mal formulé): Pourquoi calculer l'aire de l'intégrale de a à b( en utilisant la formule du trapèze dans notre cas) revient à calculer la différence des images de a et b par la primitive de x + 2 ? C'est cette relation que je n'avais pas saisi....

[fartassette]

Slt

Essaie de retenir l'essentiel , avant d'approfondir:


L’Exemple le plus simple: soit la fonction sa représentation c'est tous simplement une droite parallèle à l'axe des abscisses


Avant de s’intéresser au calcul d'aire sous la courbe,il est important de comprendre ce qu'est une primitive .Je pense que tu as compris son intérêt et la relation qui la lie à la dérivation.
petit résumé


puisque est un réel quelconque , sa dérivée est nulle .


le s allongé qui ne dispose pas de borne qu'on appelle généralement primitivation que voici: avec


Maintenant , tu peux t’intéresser aux calculs d'aire sous la courbe

Quel ingrédient supplémentaire me faut il pour calculer une surface? -un intervalle tous simplement prenons


voici comment on fabrique une intégrale U.A.

Pour t'en convaincre fais un dessin...j'ai appris cette notion tte seule ,donc tu peux y arriver.

bon courage,

[BaptisteBaptiste]

Merci à toi Fartassette.

Cela revient à considérer que F(2) (par exemple) est F(x) = x + C (avec C qui est nul dans notre cas) et donc F'(x)=f(x). C'est bien cela ?

Cordialement

[ansset]

dans ces calculs , on se moque de C ,car au final on fini par F(b)-F(a) et le C disparaît dans tout les cas.
il suffit de se souvenir qu'une fonction a tj une infinité de primitives à priori car on peut toujours rajouter une constante C.
( sauf si on impose une valeur particulière , par exemple F(0)=0 )

[fartassette]

Exactement, tout à fait d'accord avec Ansset le n'a plus de sens dans l'intégrale.


Visualise ceci:

Primitivation,U.a C'est ton intégrale le a disparu et j 'ai remplacé mes valeurs dans la variable...

Primitivation,U.a

bon courage

[BaptisteBaptiste]

Fartassette, tu intègres bien la fonction constante dans le message 44 ?

[jacknicklaus]

oui, et si tu lis bien le message 44 de fartasette, tu verras que la primitive d'une constante est définie à une (autre) constante près.


C'est évident si on se dit qu'une primitive F de la fonction zéro f : x->0 est une fonction constante F : x-> c.
En effet la dérivée de F(x) = c est F'(x) = f(x) = 0. Dérivée d'une constante = 0, résultat bien connu.

Or toute fonction est définie à 0 près : f(x) = f(x) + 0 (évident!)
Donc une primitive d'une fonction f est définie à une primitive de 0 près, c'est à dire à une constante près.

Cette constante n'a aucune importance pour les calculs d'aire, puisqu'elle s'ajoute et se retire dans les calculs : F(b)-F(a).

[BaptisteBaptiste]

Merci pour vos réponses.

Juste, c'est quoi cette barre " verticale" dans ton calcul fartassette ?

Merci pour tes réponses en tout cas Et merci aux autres intervenants, notamment Ansset qui c'est donné vraiment beaucoup de mal.

[fartassette]

slt,




je fais comme ceci.

On tire une barre et on inscrit la borne(intervalle), pour le calcul:


Cependant, plusieurs notations existe .....etc

[ansset]

je fais comme ceci
............
Cependant, plusieurs notations existe .....etc

je ne connais que cette seconde écriture. ( entre crochets )
quand tu dis que tu fais ainsi , c'est suite à une notation apprise en cours ?

[fartassette]

Bonjour Ansset

Le plus souvent c'est entre crochets,.Dans une correction l'auteur écrivait uniquement avec une .Pour moi,c'est moins contraignant ,plus aéré dans une copie...


Non, c'est de niveau 1ère ou Terminale , j'ai appris tte seule


Cordialement,

[BaptisteBaptiste]

Bonjour,

Merci pour toute vos interventions très précieuse, je pense enfin avoir saisie cette relation entre primitive et intégrale.

En revenant à la page 1, on n'a ceci: f(x)dx= F(x +dx)-F(x)

Puis, on dérive: F(x +dx)-F(x)/dx= f(x)

En faite, il faut bien dériver la primitive pour retrouver f(x) ( donc chercher au préalable la primitive de la fonction f), sauf qu'avec la notation " F(b)-F(a)" je ne voyais pas ou est ce qu'on dérivait....

Cordialement

[ansset]

En revenant à la page 1, on n'a ceci: f(x)dx= F(x +dx)-F(x)

Puis, on dérive: F(x +dx)-F(x)/dx= f(x)

en fait, c'était "vulgarisé", parce qu'en fait il s'agit de la limite quand dx tend vers 0 ( la formule telle qu'elle n'est pas juste mathématiquement )
mais ceci ( enfin je l'espérais ) pouvait donner à comprendre le lien entre la surface et la courbe liée à f(x).
sachant que de fait une intégrale est une addition avec des dx "infinitésimaux".

mais ( comme d'autre exemples donnés) se voit directement pour des fonctions très simples.
Cdt

[fartassette]

Baptiste tu te prends toujours autant la tête



ta courbe c'est , maintenant si tu cherches la primitive tu trouves :


Je vais m’intéresse à ceci: que se passe t'il si je dérive cette expression ?

je détaille: sa te rappelle quelque chose?

Oui je viens de faire c'est juste pour que tu comprennes d'ou sa vient et comment on l'obtient


maintenant le te perturbe, ce n'est pas grave faut simplement te dire que c'est un nombre quelconque


Pour ten convaincre rien de mieux qu'un exemple,on va se dire


-si tu dérive on retombe sur et tu peux choisir n'importe quel nombre tu retomberas tjrs sur


Voila comprend déjà ceci avant de faire le calcul d'aire

[BaptisteBaptiste]

Merci fartassette. C'est juste qu'en faite, dans "F(b)-F(a)" je ne voyais pas ou l'on dérivait ( d'ailleurs, je pensais qu'il n'y en avait pas....) Mais comme dit Ansset, cela a été simplifié.

Merci Ansset et fartassette

Cordialement.

[BaptisteBaptiste]

Bonjour,

Je voulais revenir sur ce sujet que j'avais ouvert pour une petite question:

Dans le théorème fondamental de l'analyse, F(x + xd)-F(x)/dx=f(x), ici f(x) c'est comme si c'était f'(x). Car dans le quotient suivant: f(a + h)-f(a)/h=f'(a), f'(a) x f(a +h)- f(a)/f'(a) = f(a + h)-f(a). Quand on fait le produit en croix de la dérivée par "h" ( le dénominateur) on retombe sur le numérateur (f(a+h)-f(a)) qui est la primitive de f'(a) ?

Cordialement.

[ansset]

il y a beaucoup de confusion la dedans.
d'abord ce ne sont pas des égalités mais des limites quand dx , ou h tendent vers 0.

par ailleurs la fin est encore pire.
f(a) ou f'(a) sont des valeurs, à ne pas confondre avec les fonctions f ou f'.

[gg0]

BaptisteBaptiste,

es-tu capable d'écrire correctement le "théorème fondamental de l'analyse" dont tu parles ?
Car parler de propriétés mathématiques qu'on ne connaît pas vraiment n'est pas une activité utile, sauf pour frimer devant ceux qui n'y connaissent rien. Donc inutile sur un forum de maths.
Si tu essaies de la faire, tu vas tout à coup y lire des choses que tu n'avais jamais vues (sinon tu n'aurais pas écrit ce message) et éventuellement constater l'absence d'autres que tu croyais y figurer.
Tu peux aussi faire la même chose avec la définition de la dérivée.
Allez, à toi d'écrire en étant sûr que c'est bien ça.

Cordialement.