Polynômes

[JeremyDubois]

Bonsoir, je bloque pour mon dm de maths. Je ne sais pas par où commencer merci de m'aider

Exercice 5

Montrer que P(x) = (x – 2)^2n + (x – 1)^n – 1, pour tout x de R , est factorisable par (x − 2)(x – 1).

Exercice 6

P(x) est un polynôme de degré 3 tel que P(1) = 1 ; P(2) = 4 ; P(3) = 9.
1) Soit, pour tout x de R , Q(x) = P(x) – x^2. Démontrer qu’il existe un réel k tel que :
Q(x) = k (x −1)(x − 2)(x − 3) .
2) Sachant que P(0) = 12, déterminer k, puis exprimer P(x) suivant les puissances décroissantes.
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[Kairn]

Bonsoir,

Dans l'exercice 5, si P est factorisable par (x-1) ça veut dire que P s'écrit P(x) = (x-1)*Q(x) avec Q un autre polynôme. Dans ce cas, qu'est ce que la valeur 1 a de particulier pour P ? Idem pour la valeur 2.

Dans l'exercice 6, ça tourne autour des mêmes idées.

[JeremyDubois]

Je n'ai pas bien saisi

[gg0]

Relis ton cours, en particulier le lien racines/factorisation.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonjour,

Montrer que P(x) = (x – 2)^2n + (x – 1)^n – 1,

Avec les parenthèses comme ceci pour que cela soit écrit correctement : P(x) = (x – 2)^(2n) + (x – 1)^n – 1

Cordialement

[ansset]

@Jeremi:
il te suffit de montrer que P(1)=P(2)=0 !

[JeremyDubois]

ah donc il suffit de montrer que 2 et 1 sont des racines du polynôme.

[JeremyDubois]

Ok d'accord donc les racines de P(x)sont 1 et 2.
Par contre pour l'exercice 6, comment faut-il procéder ?

[JeremyDubois]

j'ai trouvé que les racines du polynome Q(x) étaient 1,2,3 mais alors pourquoi un réel k.

[Kairn]

Dans la question "Démontrer qu’il existe un réel k tel que [...]", il a plusieurs choses à faire :

- démontrer l'existence d'un truc (qu'on va appeler k) qui permette d'écrire Q(x) = k(x −1)(x − 2)(x − 3). Ce premier point ne pose pas de problème, tu peux a priori écrire ce que tu veux.

- démontrer que ce truc (qui s'appelle k) est réel. C'est ce point qu'il faut bosser. Pour cela tu dois t'assurer que Q ne possède pas d'autres racines que celles que tu as trouvées (sinon k pourrait être un autre polynôme).

Ce réel k sert à particulariser le polynôme Q parmi ceux qui on 1, 2 et 3 comme racines.

[ansset]

pour la première question ; 1 et 2 sont racines, mais rien ne dit qu'elles sont les seules ( pas l'objet de l'exercice )
pour l'exercice 6.
de la même manière , avec l'énoncé ; on montre facilement que Q(1)=Q(2)=Q(3)=0
donc que 1,2 et 3 sont des racines de Q(x)
d'une manière générale :
si Q est un polynôme de degré n et si x1 est racine de Q(x) , alors le polynôme peut s'écrire
Q(x)=(x-x1)R(x) avec R(x) de degré n-1
donc ici en enchainant le raisonnement
Q(x)=(x-1)(x-2)(x-3)R(x) avec R(x) de degré n-3, soit donc 0 ( puisque Q est de degré 3 )
Un polynôme degré 0 est une constante k.

[JeremyDubois]

Merci beaucoup j'ai trouvé