exo Spé Maths Divisibilité

[greg5000]

Bonjour,
dans les exos vacances de ma prépa je dois résoudre:

trouver tous les entiers n appartenant à N* tels que n! divise n^n

Je ne sais pas comment faire avec les propriétés vu en cours ...
Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Tu ne dis pas ce que tu veux "faire avec les propriétés vues en cours". Car tu as évidemment regardé sur des cas simples ce qui se passe, donc tu as quelques idées de ce que tu veux démontrer (*).

Cordialement.

(*) si on n'a rien à démontrer, les propriétés ne servent pas

[greg5000]

Je reformule:
Je dois résoudre ce problème, et je n'ai aucune idée de la manière de le résoudre ni par ou commencer... j'ai essayé d'utiliser des cas simples vus en cours comme tu dis mais rien ne marche ....
Par ex, si n! divise n^n, sachant que n! divise n!, on a: n! divise k * (n^n) + k' n!
de là j'ai cherché à simplifier mais rien ne m'arrange ...

[gg0]

Heu ... des cas simples ça ne veut pas dire imiter un exercice précédent. Ce que tu fais n'a aucun sens.
As-tu regardé les premières valeurs de n ? 0, 1, 2, 3, 4 ... pour voir. Et comprendre ce qui se passe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[greg5000]

Il y a 1 et 2 comme solutions évidentes.
Je viens de faire un programme je trouve tous les entiers compris entre 31 et 56 inclus comme solution.
Je ne peux pas savoir à partir de 57 car 57^57 trop grand pour ma calculette ...
Apres comment démontrer ça ..........
Merci en tt cas pour tes réponses

[gg0]

Tu devrais savoir que ta calculatrice fait du calcul approché !


La fraction est irréductible.
Au lieu de jouer avec ta calculette, tu aurais dû regarder pour quoi nⁿ n'est pas divisible par n! pour n= 3, 4, etc.
Tu aurais maintenant fini cet exercice assez simple.

Cordialement.

[greg5000]

Je savais pas merci !

Bon sachant qu'une fraction est entiere si on peut la simplifier tel qu'il ne reste qu'un au denominateur,

n^n / n! = n*n*...*n / 1*2*...*n
Or pour tout n entier superieur ou égal à 3, il existe au moins un entier inférieur qui n'est pas dans sa table de divisibilité donc on ne peut simplifier le dénominateur jusqu'à 1 <=> n^n n'est pas divisible par n!.
Donc les solutions sont 1 et 2.

J'ai peur que ça ne soit pas assez rigoureux ?

[gg0]

Oui, c'est presque correct. Il reste à justifier proprement ton affirmation (tu peux t'appuyer sur les diviseurs premiers). Ça ne me semble pas très facile à rédiger.

Cordialement.

[greg5000]

Merci bcp !
Derniere question sur un autre exo :
Trouvez tous les n appartenant à N* tels que n ne divise pas (n-1)!
Je ne sais pas par ou partir ...

[gg0]

Même chose, explore ....