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Calcul d'intégrale en 1/x

  1. sethace

    Date d'inscription
    septembre 2016
    Âge
    26
    Messages
    23

    Calcul d'intégrale en 1/x

    Bonjour à tous,

    J'ai lu un article sur le site futura sciences http://www.futura-sciences.com/scien...s-1698/page/9/, et à un moment il y a écrit qu'il est impossible de calculer 2017-08-17 14_37_58-Les distributions, ou comment donner un sens à des objets qui n'en ont pas _.png pour cette raison :
    Elle n'existe pas car elle se comporte trop mal en x=0, elle n'est donc pas intégrable.

    Pourtant, il est bien possible d'intégrer la fonction 1/x donc je ne comprends pas pourquoi on ne peut pas intégrer celle au dessus.

    Notez que sur le site ils parlent de la théorie des distributions, mais ce n'est pas le sujet.

    Merci d'avance pour les réponses !

    -----

     


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  2. Resartus

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    2 661

    Re : Calcul d'intégrale en 1/x

    Bonjour,
    La fonction citée dans l'article n'est pas du tout intégrable en zero au sens de Riemann car elle se comporte comme x^(-3/2).
    Plus généralement, les fonctions en x^(a) ne sont intégrables que pour a strictement supérieur à -1...

    Au passage, votre fonction 1/x n'est pas non plus intégrable (la primitive ln(x) tend vers -l'infini quand x tend vers zero).
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
     

  3. sethace

    Date d'inscription
    septembre 2016
    Âge
    26
    Messages
    23

    Re : Calcul d'intégrale en 1/x

    Citation Envoyé par Resartus Voir le message
    Bonjour,
    La fonction citée dans l'article n'est pas du tout intégrable en zero au sens de Riemann car elle se comporte comme x^(-3/2).
    Plus généralement, les fonctions en x^(a) ne sont intégrables que pour a strictement supérieur à -1...
    Je ne comprends pas bien, tu dis que la fonction x^(-3/2) n'est pas intégrable (je comprends "primitivable" désolé pour le therme) et pourtant cela fait -2/racine(x).
    [QUOTE=Resartus;5964822Au passage, votre fonction 1/x n'est pas non plus intégrable (la primitive ln(x) tend vers -l'infini quand x tend vers zero).[/QUOTE]
    Pareil, on est capable d'intégrer 1/x en ln(x) donc je ne vois pas en quoi elle n'est pas "intégrable".

    Merci!
     

  4. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 823

    Re : Calcul d'intégrale en 1/x

    Bonjour

    Citation Envoyé par sethace Voir le message
    n'est pas intégrable (je comprends "primitivable" désolé pour le therme)
    Votre erreur est là, regardez 1/x comme l'a suggéré Resartus.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  5. sethace

    Date d'inscription
    septembre 2016
    Âge
    26
    Messages
    23

    Re : Calcul d'intégrale en 1/x

    Je regarde...
    On parle d'intégrale sans mettre de borne, c'est pour ça que je comprends primitive.
    1/x existe sur R* mais ça n'empêche pas de l'intégrer non ? En thermodynamique le calcul du travail lors d'une transformation se fait en intégrant en 1/V.
     


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  6. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
    Âge
    67
    Messages
    16 823

    Re : Calcul d'intégrale en 1/x

    Citation Envoyé par sethace Voir le message
    On parle d'intégrale sans mettre de borne.
    Je ne sais pas ce qu'est une intégral sans borne, d'ailleurs dans votre message 1, il y en a.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  7. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    20 709

    Re : Calcul d'intégrale en 1/x

    Bonjour Sethace.

    Tu perds ton temps à poser des questions alors que tu n'as pas compris de quoi tu parles. Tant que tu n'es pas capable de faire la différence entre intégrale et primitive, tu parles dans le vide. Ou encore l'ancienne distinction entre "intégrale indéfinie" (en fait une primitive quelconque, surtout une notation pratique pour certains calculs de primitives) et "intégrale définie" (intégrale).
    Ensuite, il te faudra voir une notion d'intégrale suffisamment forte pour définir la notion de "fonction intégrable", qui est d'ailleurs assez multiple, suivant le type d'intégrale qu'on prend.

    Cordialement.
     

  8. sethace

    Date d'inscription
    septembre 2016
    Âge
    26
    Messages
    23

    Re : Calcul d'intégrale en 1/x

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Je ne sais pas ce qu'est une intégral sans borne, d'ailleurs dans votre message 1, il y en a.
    Bien souvent mes profs parlaient "d'intégration" pour dire "primitiver"
    En effet la pièce jointe dans le 1er post est une intégrale dont l'auteur dit qu'elle n'est pas calculable.

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Bonjour Sethace.

    Tu perds ton temps à poser des questions alors que tu n'as pas compris de quoi tu parles. Tant que tu n'es pas capable de faire la différence entre intégrale et primitive, tu parles dans le vide. Ou encore l'ancienne distinction entre "intégrale indéfinie" (en fait une primitive quelconque, surtout une notation pratique pour certains calculs de primitives) et "intégrale définie" (intégrale).
    Ensuite, il te faudra voir une notion d'intégrale suffisamment forte pour définir la notion de "fonction intégrable", qui est d'ailleurs assez multiple, suivant le type d'intégrale qu'on prend.

    Cordialement.
    C'est pas faux ... Mais justement ça m'intéresse de comprendre.
    Une primitive d'une fonction f est une fonction F dont la dérivée donne f.
    Pour l'intégrale j'ai du mal à trouver une définition (autre que calcul d'aire ou de volume).
    Généralement, en cours, quand une intégrale n'est pas calculable (en l'état de nos connaissances en tout cas) c'est que la primitive est trop compliquée à trouver. Donc la notion d'intégrale et de primitive est fortement liée.
    En tout cas c'est ce que j'ai compris.

    Cordialement,
     

  9. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    20 709

    Re : Calcul d'intégrale en 1/x

    Ok, allons plus loin.

    On parle effectivement d'intégration à propos des primitives, cela provient du fait que si f est une fonction continue sur l'intervalle [a,b] et si c est un nombre entre a et b (compris), la fonction

    définie par des intégrales, est une primitive de f sur [a,b].
    Mais il est très important de bien faire la différence entre intégrale et primitive, même s'il y a des liens.
    Ensuite, dans ce qu'on voit au lycée,

    n'a de sens que si f est définie sur un intervalle contenant a et b, et vaut alors g(b)-g(a) où g est une primitive de f.
    En cours, le prof passe un peu sur les détails, mais ça n'a de sens que pour les fonctions qui sont des dérivées de fonctions connues ou inconnues (les "primitives non calculables" dont tu parlais). Ce qui exclut tout ce qui est fonctions discontinues (qui fait un saut en une valeur). Mais permet déjà de traiter toutes les fonctions continues (sans toujours savoir "calculer l'intégrale"), donc toutes les fonctions simples du lycée.

    Reste ta question : "Pour l'intégrale j'ai du mal à trouver une définition (autre que calcul d'aire ou de volume)." Déjà, la notion d'aire est très délicate à traiter correctement car on ne connaît vraiment que des aires simples ( rectangle, triangle, par passage à la limite disque), et maintenant, on la définit à l'aide des intégrales. Donc l'introduction à l'intégration par l'aire sous la courbe d'une fonction continue positive est une simple illustration de la définition. Pour une définition précise, tu as déjà l'intégrale des fonctions dérivées, avec la formule :

    Avec cette formule, valable si g et f sont définies sur un intervalle contenant a et b, on a déjà tout le calcul intégral de lycée. Y compris les applications ultérieures à la physique (vitesse et accélération, ...).
    Mais c'est trop restrictif, comme les mathématiciens de la fin du dix-neuvième siècle l'avaient compris. Ils ont alors défini l'intégrale de plusieurs façons (Stieltjes, Riemann, Lebesgue, Henstock, ...), on dit maintenant que ce sont différentes intégrales, de faéçon à ce que ce soit rigoureux.
    Si tu veux vraiment savoir, tu cherches un cours sur l'intégrale de Riemann. L'idée étant de généraliser l'approximation de l'aire par des rectangles.

    Cordialement.
     

  10. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
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    Messages
    20 709

    Re : Calcul d'intégrale en 1/x

    Je rajoute : Avec l'intégrale de Riemann, on traite le cas de toutes les fonctions continues, ou croissantes, ou décroissantes, ou continues par morceaux.

    Et pour en revenir à ta fonction initiale : Elle n'est pas définie en 0, donc ne relève pas de la définition des intégrales du lycée, ni de l'intégrale de Riemann. Ni même d'une extension de la notion d'intégrale de Riemann (intégrale généralisée). En fait, elle n'est jamais intégrable, quelle que soit la définition utilisée.

    Cordialement
     

  11. sethace

    Date d'inscription
    septembre 2016
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    26
    Messages
    23

    Re : Calcul d'intégrale en 1/x

    C'est plutôt clair merci !
    Tu dis qu'il faut bien faire la distinction entre intégrale et primitive, mais justement je ne trouve rien de clair là dessus. Ni mes cours ni sur internet.
    De ce que j'ai vu et ce que j'ai appris, les primitives sont enseignées car elles ont pour seule fonction de calculer des intégrales, qui sont une aire sous la courbe... Bien bien ^^ mais ce n'est pas vraiment ça, et je n'arrive pas à trouver une définition (j'ai bien vu et compris mathématiquement la partie avec g'=f).

    En effet j'ai vu que pour qu'une fonction soit intégrable, la primitive doit être continue sur I (pour moi, si j'intègre entre a>0 et b>a, je m'en fiche qu'elle soit pas définie en 0 puisque 0 n'appartient pas à I non ?)
    D'ailleurs je parlais de thermodynamique, on intègre bien en 1/V lors d'une transformation isotherme pourtant elle n'est pas définie en 0 non plus.
    EDIT : je viens de voir que dans mon 1er post les bornes sont de 0 à 1 et c'est juste ça la raison pour laquelle elle n'est pas intégrable --' ce serait de 1 à 2 il n'y aurait pas de soucis.

    Pour résumer, je pense avoir compris la base des intégrales de Riemann, c'est à dire une somme de rectangles. Pour autant, je ne comprends pas à quoi elles servent hormis à calculer des aires / volumes (donc la définition "en français"). C'est comme quand en cours on dit la définition de la divergence c'est la somme des dérivées partielles... ok ^^ et ?
    Pour ma question initiale merci pour les explications =)
     

  12. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    20 709

    Re : Calcul d'intégrale en 1/x

    Bizarre ce que tu racontes. On trouve partout la définition d'une primitive : g est une primitive de f si et seulement si f est la dérivée de g.
    C'est tout ! Rien de plus à chercher

    Les primitives servent à plein de choses, pas seulement pour calculer les intégrales, mais dans le calcul des intégrales, c'est souvent la méthode la plus simple (malheureusement, on ne connaît pas l'expression calculatoire des primitives de la plupart des fonctions).

    Pour ce que tu dis ensuite, relis ce que j'ai écrit. C'est très précis.

    "je pense avoir compris la base des intégrales de Riemann" c'est notoirement insuffisant.
    "Pour autant, je ne comprends pas à quoi elles servent" Que connais-tu des mathématiques ? 0,001% ? Moins ? Tu te comportes comme un élève de primaire qui dirait "Pour autant, je ne comprends pas à quoi servent les divisions hormis à faire des partages".
    Je suppose que tu fais une formation non centrée sur les maths, alors simplement, rappelle-toi que si on te fait apprendre des outils mathématiques, c'est pour que tu puisses t'en servir ensuite (au moins d'une bonne partie, mais difficile de savoir ce qui ne servira pas) et même éventuellement reprendre un complément de formation après avoir travaillé.

    Cordialement.
     

  13. sethace

    Date d'inscription
    septembre 2016
    Âge
    26
    Messages
    23

    Re : Calcul d'intégrale en 1/x

    0.001% c'est optimiste
    Merci pour toutes les réponses, a+!
     


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