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DM de Terminale S

  1. Liefye

    Date d'inscription
    mai 2017
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    18

    DM de Terminale S

    Bonjour !
    Je suis en terminale S et j'ai un devoir maison à rendre pour le mardi 12/09.
    Mais cela fait 5 jours que je bloque dessus.
    Pouvez-vous m'orienter vers la solution* ?
    Voilà l'énoncé :

    En 2016, un institut de sondage a mené une enquête sur la manière dont les particuliers paient leur assurance. Les assurés se répartissent en 2 catégories :
    **** • la catégorie A composée des assurés qui paient en agence
    **** • la catégorie B, composée de ceux qui paient en ligne
    En 2016, 92% ont payé en avance.
    On admet que d'une année à l'autre, 4% des assurés de la catégorie A passent à la catégorie B et que 1% des assurés de la catégorie B passent à la A.
    On suppose que le nombre d'assurés est constant et que chaque année un individu fait partie d'une seule catégorie.
    Pour tout entier naturel n, on considère l'année 2016+n et on note :
    **** • a(n) la probabilité qu'un assuré, pris au hasard, face partie de la catégorie A
    **** • b(n) la probabilité qu'un assuré, pris au hasard, face partie de la catégorie B

    1) Preciser les valeurs de a (0) et de b (0).** Là, j'ai repondu a (0) = 0.92* et b (0) = 0,08

    2) Donner la valeur de a (n) + b (n).*** Là, j'ai dit que c'est égal à* 1 car c'est la somme* d'événements contraires

    3) Justifier que, pour tout entier naturel, a (n+1) = 0,95a (n) + 0,01

    4) On considère u (n) la suite définie par u (n) = a (n) - 0,2
    * Démontrer que u est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison
    * En déduire une expression de u(n), puis de a (n), en fonction de n, pour tout entier naturel.

    Je bute sur la 3 et la 4.
    Pour la trois, je ne vois absolument pas comment arriver à cette expression. J'ai essayer de dire que a (n+1) = 0,96a (n) + 1,99a (n)** mais ça ne va pas.
    Pour la 4, je ne voit pas du tout en quoi c'est une suite géométrique.

    Merci d'avance pour votre aide

    -----

     


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  2. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
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    23 221

    Re : DM de Terminale S

    Citation Envoyé par Liefye Voir le message

    On admet que d'une année à l'autre, 4% des assurés de la catégorie A passent à la catégorie B et que 1% des assurés de la catégorie B passent à la A.
    On suppose que le nombre d'assurés est constant et que chaque année un individu fait partie d'une seule catégorie.

    3) Justifier que, pour tout entier naturel, a (n+1) = 0,95a (n) + 0,01
    bonsoir,
    il faut simplement mettre ces énoncés en équation.
    chaque année le groupe A perd 4% de ses assurés , et en même temps gagne 1% des assurés B.
    donc
    a(n+1)=0,96a(n)+0,01b(n)
    Or, a(n)+b(n)=1 donc
    b(n)=1-a(n) que l'on remplace dans l'équation
    a(n+1)=0,96a(n)+0,01(1-a(n)) soit
    a(n+1)=(0,96-0,01)a(n) +0,01
    a(n+1)=(0,95)a(n)+0,01
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  3. Liefye

    Date d'inscription
    mai 2017
    Messages
    18

    Re : DM de Terminale S

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    bonsoir,
    il faut simplement mettre ces énoncés en équation.
    chaque année le groupe A perd 4% de ses assurés , et en même temps gagne 1% des assurés B.
    donc
    a(n+1)=0,96a(n)+0,01b(n)
    Or, a(n)+b(n)=1 donc
    b(n)=1-a(n) que l'on remplace dans l'équation
    a(n+1)=0,96a(n)+0,01(1-a(n)) soit
    a(n+1)=(0,96-0,01)a(n) +0,01
    a(n+1)=(0,95)a(n)+0,01
    Oh je vois ! Merci beaucoup pour votre aide !

    Est-ce que vous auriez une idée pour la suite ? Pour moi, il s'agirait plutôt d'une suite arithmétique, je ne reconnaît pas la suite géométrique.
     

  4. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    23 221

    Re : DM de Terminale S

    Citation Envoyé par Liefye Voir le message
    Est-ce que vous auriez une idée pour la suite ? Pour moi, il s'agirait plutôt d'une suite arithmétique, je ne reconnaît pas la suite géométrique.
    bjr,
    comme tu dois le savoir une suite géométrique suit la règle
    u(n+1)=q*u(n) ( avec q un réel constant )
    c'est donc ce qu'il faut montrer ici en passant par la définition de u(n) en fct de a(n).
    ( donc en démarrant par u(n+1)=...... et en utilisant sur ce qui a été démontré plus haut concernant a(n+1))
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  5. Liefye

    Date d'inscription
    mai 2017
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    18

    Re : DM de Terminale S

    D'accord !
    Merci infiniment pour votre temps et vos explications !
     


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  6. Liefye

    Date d'inscription
    mai 2017
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    Re : DM de Terminale S

    J'ai (encore) un souci :
    Pour prouver que u (n) est une suite géométrique, j'ai commencé par exprimer dans un système u (n) et u (n+1) ce qui me donne :

    u (n) = a (n)-0,2
    u (n+1)=0,95a (n)-0,19

    Et là, je n'arrive pas à trouver de raison ni à exprimer u (n+1) en fonction de u (n)

    Merci encore
     

  7. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Re : DM de Terminale S

    tu connais u(n) en fct de a(n) , donc tu connais a(n) en fct de u(n) !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  8. Liefye

    Date d'inscription
    mai 2017
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    Re : DM de Terminale S

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    tu connais u(n) en fct de a(n) , donc tu connais a(n) en fct de u(n) !
    Ah mais oui bien sûr !!
    C'est tellement evident, je me sens un peu idiote d'avoir posé la question :')
    En tout cas, merci énormément pour votre explication et votre patience !
     

  9. Liefye

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    mai 2017
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    Re : DM de Terminale S

    Mais la suite est donc arithmético-géométrique non ?
    Puisque u (n+1)=-0,95u (n)-0,38 ?

    La raison est donc de -0,95, mais comment est-ce que je peux trouver le premier terme u(0) ?
     

  10. ansset

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    Re : DM de Terminale S

    tu as du faire une erreur de calcul.
    revérifie les.
    u(n) est bien géométrique de raison 0,95
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  11. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Re : DM de Terminale S

    erreur de signes en passant de a(n) à u(n)
    Dernière modification par ansset ; 10/09/2017 à 16h05.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  12. Liefye

    Date d'inscription
    mai 2017
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    Re : DM de Terminale S

    Merci, c'est corrigé !
    Donc q=0,95 et le premier terme est u (1)=0 pour tout entier naturel ?
     

  13. ansset

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    Re : DM de Terminale S

    non, comment calcules tu ton u(1) ?
    d'ailleurs le premier terme est u(0)
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  14. Liefye

    Date d'inscription
    mai 2017
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    18

    Re : DM de Terminale S

    Ou plutôt u (0) = 0 ?
     

  15. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Re : DM de Terminale S

    u(0) dépend ( par définition ) de a(0).
    là tu me fais le coup de : je balance des trucs au pif et j'attend la correction ......
    fais un effort STP !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     


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