Fonction dérivée et variation d'une fonction

[BaptisteBaptiste]

Bonjour,

Voici ce que dit le théorème pour connaitre le sens de variation d'une fonction f dérivable sur un intervalle I:

Si f ’ est positive sur I la fonction est croissante sur I.
Si f ’ est négative sur I la fonction est décroissante sur I.

En gros, dès lors que la fonction dérivable a une fonction dérivée négative, elle est décroissante et au contraire croissante quand sa dérivée est positive. Mais, si on prend la fonction f qui à x --> 1/x, sa dérivée est -1/x*x. Par conséquent, même si l'on entre un antécédent négatif au dénominateur de f', un carré étant toujours positif, la valeur de f' sera toujours négative étant donné que le numérateur est de signe - .

Or, la fonction inverse est décroissance, puis croissante.

J'espère qu'il ne s'agit pas d'une erreur de propriété des fractions de ma part: -a/-b=a/b. Mais avec le carré au dénominateur de f', j'avoue avoir un doute.

Cordialement.
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[jacknicklaus]

Bonjour,

Or, la fonction inverse est décroissance, puis croissante.

non

attention au point 0 où la fonction n'est pas définie (et sa dérivée non plus)

on a bien sur [-infini,0[ une fonction décroissante (de 0- à -infini). et sur ]0,+infini] une fonction décroissante (de +infini à 0+).

donc partout où elle est définie, la dérivée est bien négative, et la fonction décroissante.

[BaptisteBaptiste]

Je n'ai pas bien compris,

De ( 0 à + l'infini) la fonction est croissante, la coefficient directeur de la tangente à la courbe est pourtant positif, la droite monte, et est de type y=ax+b ou = f'(a) dans l'équation de la tangente. Donc même en dérivant la fonction 1/x de (0 à + infini) on tombera toujours sur f'(a)<0 ? Etrange.

[andretou]

Je n'ai pas bien compris,

De ( 0 à + l'infini) la fonction est croissante, la coefficient directeur de la tangente à la courbe est pourtant positif, la droite monte, et est de type y=ax+b ou = f'(a) dans l'équation de la tangente. Donc même en dérivant la fonction 1/x de (0 à + infini) on tombera toujours sur f'(a)<0 ? Etrange.

Attention Baptiste, si on parle bien de la fonction f(x) = 1/x, cette fonction est décroissante sur ]0 ; +inf[ comme sur ]-inf ; 0[ ainsi que Jack te l'a indiqué.
Comme tu l'as judicieusement remarqué, f'(x) est toujours négatif (le coefficient directeur de la tangente en tout point de la courbe est donc négatif), la fonction est bien décroissante sur son domaine de définition.
Et pour la peine, pour que tout soit clair entre nous, pourrais-tu nous donner l'équation de la tangente au point d'abscisse a et d'ordonnée 1/a ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[BaptisteBaptiste]

Sur mon livre de maths, ils indiquent cela: Pour pouvoir appliquer ce théorème ( celui que j'ai mis au début), il est nécéssaire d'étudier de signe de la fonction dérivée sur un intervalle. Par exemple, la fonction x qui associe 1/x admet une dérivée négative sur l'ensemble )- l'infini; 0(...)0; + l'infini( mais elle n'est pas décroissante sur cet ensemble. En effet, -12<13 mais 1/-12<1/13.

Sinon, l'équation de la tangente au point d'abscisse a est d'ordonnée 1/a est y=f'(a)(x-a) + f(a).

[BaptisteBaptiste]

Je viens de comprendre !

Merci à vous

[andretou]

Sur mon livre de maths, ils indiquent cela: Pour pouvoir appliquer ce théorème ( celui que j'ai mis au début), il est nécéssaire d'étudier de signe de la fonction dérivée sur un intervalle. Par exemple, la fonction x qui associe 1/x admet une dérivée négative sur l'ensemble )- l'infini; 0(...)0; + l'infini( mais elle n'est pas décroissante sur cet ensemble. En effet, -12<13 mais 1/-12<1/13.

Ton exemple est biaisé car -12 et 13 n'appartiennent pas au même domaine de définition.
Si tu prends 2 valeurs a et b appartenant au même domaine, si a < b alors 1/a > 1/b

Sinon, l'équation de la tangente au point d'abscisse a est d'ordonnée 1/a est y=f'(a)(x-a) + f(a).

Tu nous as servi la formule académique !
Peux-tu nous donner l'équation sous la forme y = ax + b (en donnant les valeurs pour f'(a) et f(a)) ?