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Système d'équation à 2 angles inconnus

  1. Nathnos

    Date d'inscription
    novembre 2017
    Messages
    13

    Système d'équation à 2 angles inconnus

    Bonjour,
    Pour mon projet de SI (Bac S Tlle) j'aurais besoin de résoudre le système d'équation :
    X = L1 * cos(α - β) - L2 * cos(β)
    Y = L1 * sin(α - β) + L2 * sin(β)
    Avec X, Y, L1 et L2 des constantes connues.

    Quand je développe avec les formules cos(a+b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b) et sin(a+b) = sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b), je n'arrive pas à isoler α ou β, donc je reste bloqué.
    Si vous avez des pistes, je suis preneur.
    Merci d'avance.

    -----

     


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  2. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    21 596

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Bonjour.

    Il vaut mieux prendre comme inconnues α - β et β, tu en déduiras ensuite α.
    En rajoutant cos²(α - β) + sin²(α - β) = 1 et sin²(β)+cos²(β)=1, tu devrais y arriver.

    Bon travail !
     

  3. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
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    57
    Messages
    24 032

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    bjr,
    on peut ( sans tenir comte de cas particulier au départ )
    multiplier les équations par sin(β) pour la première ) et cos(β) pourla seconde et faire une soustraction qui fait disparaître les L2.
    on obtient une première équation simplifiée.
    de même
    multiplier la première par sin(α - β) et la seconde par cos(α - β) et on en obtient une autre .
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  4. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    21 596

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Effectivement,

    c'est mieux !

    Salut Ansset !
     

  5. Nathnos

    Date d'inscription
    novembre 2017
    Messages
    13

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Merci de votre aide. Avec la méthode d'Ansset, je trouve
    X * sin(β) + Y * cos(β) = L1 * cos(α - β) * sin(β)
    X * sin(α - β) - Y * cos(α - β) = - L2 * sin(α - β) * cos(β) - L2 * sin(β) * cos(α - β)

    Mais tout ce que j'arrive à en tirer c'est :
    tan(β) = (L1 * sin(α - β) - Y) / (X - L1 * cos(α - β) )
    tan(α - β) = (Y + L2 * sin(β) ) / (X - L2 * cos(β) )
    Et là encore je ne vois pas.
     


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  6. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
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    Messages
    24 032

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Citation Envoyé par Nathnos Voir le message
    Merci de votre aide. Avec la méthode d'Ansset, je trouve
    .
    je trouve bien plus simple que ça.
    remarque : je n'avais pas vu le signe +L2 au départ donc pour la première équation il faut donc additionner les deux et non soustraire pour celle ci.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  7. Nathnos

    Date d'inscription
    novembre 2017
    Messages
    13

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Je viens de les refaire et je retombe sur la même chose (j'avais déjà vu qu'il fallait additionner la première fois).
    Ce que je fais :
    X = L1 * cos(α - β) - L2 * cos(β)
    Y = L1 * sin(α - β) + L2 * sin(β)

    X * sin(β) = L1 * cos(α - β) * sin(β) - L2 * cos(β) * sin(β)
    Y * cos(β) = L1 * sin(α - β) * cos(β) + L2 * sin(β) * cos(β)
    X * sin(β) + Y * cos(β) = L1 * cos(α - β) * sin(β)

    X * sin(α - β) = L1 * cos(α - β) * sin(α - β) - L2 * cos(β) * sin(α - β)
    Y * cos(α - β) = L1 * sin(α - β) * cos(α - β) + L2 * sin(β) * cos(α - β)
    X * sin(α - β) - Y * cos(α - β) = - L2 * sin(α - β) * cos(β) - L2 * sin(β) * cos(α - β)
     

  8. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    24 032

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Citation Envoyé par Nathnos Voir le message
    Ce que je fais :
    X = L1 * cos(α - β) - L2 * cos(β)
    Y = L1 * sin(α - β) + L2 * sin(β)

    X * sin(β) = L1 * cos(α - β) * sin(β) - L2 * cos(β) * sin(β)
    Y * cos(β) = L1 * sin(α - β) * cos(β) + L2 * sin(β) * cos(β)
    X * sin(β) + Y * cos(β) = L1 * cos(α - β) * sin(β)
    c'est déjà faux pour celle ci
    on a
    X * sin(β) + Y * cos(β) =L1(sin(α - β) * cos(β)+cos(α - β) * sin(β))
    le terme sous la parenthèse est du type sin(a+b) avec a =α - β et b= β, donc a+b=α , d'où
    X * sin(β) + Y * cos(β) =L1sin(α)
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  9. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
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    21 596

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Il y a une erreur sur ce qui est multiplié par L1. (je n'avais pas encore le message précédent, Ansset a fait la rectification)

    Mais finalement, on se retrouve avec un système aussi compliqué à traiter.
    A priori, déjà les expressions de sin(α - β), cos(α - β), sin(β) et cos(β) sont assez compliquées à écrire, si les constantes sont quelconques, et n'existent pas toujours, alors celles de α - β et β ....

    Tu peux déjà poser sin(α - β) = a, cos(α - β)=b, sin(β)=c et cos(β)=d, et résoudre le système de 4 équations à 4 inconnues (les deux équations, plus a²+b²=1 et c²+d²=1). Tu verras ...

    Dans quelles conditions dois-tu résoudre ce système ?
     

  10. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Fresnes
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    24 032

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Mais finalement, on se retrouve avec un système aussi compliqué à traiter.
    ...
    Dans quelles conditions dois-tu résoudre ce système ?
    bjr,
    j'allais faire la même réflexion.
    ( au départ ,je n'ai cherché qu'un moyen de simplifier les équations )
    n'y a t il aucune indication sur les X,Y, L1 et L2?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  11. Nathnos

    Date d'inscription
    novembre 2017
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    13

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    L1 et L2 sont des distances que j'ai mesuré.
    X et Y sont des coordonnés que l'on veut obtenir avec la main d'un bras robotique. Je dois le résoudre ce système de façon automatisée. Par exemple si on veut monter de 13 cm sans bouger horizontalement, les nouvelles coordonnés seront X' = X et Y' = Y + 13. Et il faut trouver le couple (α ; β) qui le permette. Alors oui il y a des limites : la portée maximale du bras, mais ce n'est pas un problème pour résoudre l'équation.
    Sinon merci de l'astuce pour simplifier.
    Dernière modification par Nathnos ; 17/12/2017 à 11h52.
     

  12. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Citation Envoyé par Nathnos Voir le message
    L1 et L2 sont des distances que j'ai mesuré.
    X et Y sont des coordonnés que l'on veut obtenir avec la main d'un bras robotique..
    donc, il y a un lien ( bornes ) entre les X,Y et L1 ,L2.
    il faut peut être reformuler le pb autrement, car tel que présenté , il n'y a pas forcement de solution , ou en cas de solution, pas forcement unicité.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  13. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    24 032

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    question complémentaire donc.
    comment est fait ton bras ( une ou deux articulations )et à quoi correspondent tes angles ?
    Dernière modification par ansset ; 17/12/2017 à 11h59.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  14. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
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    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Les mathématiques de la robotique sont très compliquées, en général. Dans ton cas, il y a une solution explicite, mais compliquée à écrire.
    Le système que je t'ai proposé se résout par substitution, par exemple en calculant c et d en fonction de a et b dans les deux premières équations, puis remplaçant dans c²+d²=1; on développe, on simplifie (avec a²+b²=1), puis à nouveau une substitution (par exemple calculer b en fonction de a et remplacer dans a²+b²=1). On obtient une équation du second degré, dont il faut choisir la "bonne" solution (en supposant qu'il y a des solutions), puis on en déduit b, c et d, puis α - β et β, encore une fois en choisissant les bonnes valeurs (en fonction des conditions réelles). Tout ça est d'un niveau fin de lycée.

    Amuse-toi bien.
     

  15. Nathnos

    Date d'inscription
    novembre 2017
    Messages
    13

    Re : Système d'équation à 2 angles inconnus

    Peut-être que je me complique la vie, il doit y avoir une façon plus simple d’exprimer les coordonnés. Si vous voyez comment faire, dites le moi.
    En pièce jointe un schéma du problème.O et O2 sont des servomoteurs. M la main du robot.
    Images attachées
     


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