Système d'équation à n inconnus

[XM-134]

Bonjour

Comme vous le savez, en 3ème, nous apprenons à résoudre un système de deux équations à deux inconnus.
-Cependant comment résoudre un système d'équation à n inconnus?
- Pour résoudre une équation à n inconnus?

Les équations sont des équations du premier degré

Merci de bien vouloir éclairer ma lanterne

XM-134

[Coincoin]

Salut,
Il existe plusieurs méthodes, plus ou moins adaptées selon le système, mais la plus connue est celle du pivot de Gauss.
Ca consiste à faire des combinaisons des différentes équations, pour éliminer petit à petit les variables et obtenir un système triangulaire.

Par exemple, si tu pars de :
x+y=2
x-y=0

Tu gardes la première équation, et tu remplaces la deuxième par la première plus la deuxième :
x+y=2
2x=2

Ca se résout alors tout simplement en remontant :
x=1
y=1


Pour des systèmes plus grands, c'est pareil. Prenons un système simple :
x+y+z=2
-x+y+z=0
-x-2y+z=-6

Tu gardes la première, tu remplaces la deuxième par la première plus la deuxième, et tu remplaces la troisième par la première plus la troisième :
x+y+z=2
2y+2z=2
-y+2z=-4

En simplifiant un peu :
x+y+z=2
y+z=1
-y+2z=-4

Tu gardes les deux premières, et tu remplaces la troisième par la deuxième plus la troisième pour éliminer les y :
x+y+z=2
y+z=1
3z=-3

Ton système est triangulaire et donc simple à résoudre. Tu obtiens en remontant :
z=-1
y=2
x=1

Ca se généralise sans problème à un système linéaire de n équations à n inconnues.

[fderwelt]

Il existe plusieurs méthodes, plus ou moins adaptées selon le système, mais la plus connue est celle du pivot de Gauss.
Ca consiste à faire des combinaisons des différentes équations, pour éliminer petit à petit les variables et obtenir un système triangulaire.
(...)
Ca se généralise sans problème à un système linéaire de n équations à n inconnues.

Bonjour,

Tout à fait correct, cher Coincoin... mais tu oublies de dire qu'au-delà de 3 équations il faut pas mal de feeling pour choisir les bonnes substitutions! Il n'y a qu'à voir les programmes informatiques qui font plus ou moins ça (même s'ils n'utilisent que des valeurs numériques approchées, alors qu'en maths on a en générl de beaux coefficient rationnels bien propres), il y en a des bouquins entiers sur le sujet.

Sinon, les formules de Cramer avec des déterminants 3x3 sont encore applicables, mais il faut compter avec le fait qu'un déterminant 3x3 ne se laisse pas calculer facilement, càd sans risque d'erreur de signe. Donc je ne donnerai pas ces formules (à moins que vous insistiez, mais c'est aussi parce que c'est vraiment pénible à écrire au clavier).

-- françois

[Coincoin]

il faut pas mal de feeling pour choisir les bonnes substitutions!

Exact... Là, j'ai triché, j'ai choisi les systèmes de manière à pouvoir faire ça simplement. Mais si on se lance sans réfléchir, c'est très bourrin et ça conduit de manière certaine à une faute de calcul. Le mathématicien est un feignant dans l'âme : il préfère réfléchir longuement avant pour éviter de réfléchir pendant.

[XM-134]

Merci pour toutes ses réponses

[XM-134]

Merci pour toute ses réponses