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Incertitude

  1. #1
    Loreilei

    Incertitude

    Bonjour,

    J'aurai besoin de vos éclaircissements.

    Je dispose de 10 valeurs {X_i}, chacune a été obtenue après un nombre {z_i} de mesure. Je cherche à obtenir l'erreur à 2 sigma de la valeur de X.

    J'ai donc calculé l'écart type des 10 valeurs de {X_i} mais je ne vois pas quand utiliser l'information du nombre de mesure. En effet si X_1 a été mesurée 10 fois mais X_3 l'a été 500 fois, je m'attends à une erreur moins importante sur X_3.

    Bref, je me doute qu'un 1/racine(z_i) doit intervenir mais je ne vois pas vraiment où.

    En vous remerciant,

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    leon1789

    Re : Incertitude

    Bonjour,
    pour ne pas mélanger un peu tout, je crois qu'il est préférable de noter avec des lettres minuscules les nombres (x, x_i, z_i) et avec des majuscules les variables aléatoires sous-jacentes (X_i)


    Citation Envoyé par Loreilei Voir le message
    Je dispose de 10 valeurs {X_i}, chacune a été obtenue après un nombre {z_i} de mesure.
    Tu veux dire que la valeur x_i est la moyenne de z_i mesures ?

    Citation Envoyé par Loreilei Voir le message
    Je cherche à obtenir l'erreur à 2 sigma de la valeur de X.
    x, c'est quoi par rapport au contexte ? c'est la valeur vraie (ou exacte) de l'objet mesuré ?


    Citation Envoyé par Loreilei Voir le message
    J'ai donc calculé l'écart type des 10 valeurs de {X_i} mais je ne vois pas quand utiliser l'information du nombre de mesure.
    En effet si X_1 a été mesurée 10 fois mais X_3 l'a été 500 fois, je m'attends à une erreur moins importante sur X_3.
    en effet !

    Je suppose que toutes tes mesures sont indépendantes (ce qui est le cas très souvent).

    Je suppose aussi que pour obtenir la valeur x_i, on a fait z_i mesures avec un protocole £_i suivant une loi de probabilité de moyenne x et d'écart-type s_i (i.e. variance s²_i)

    En raison du théorème central limite (ou de la limite centrale) en supposant z_i assez grand, la valeur x_i est celle d'une variable aléatoire X_i qui suit approximativement la loi normale de moyenne x et de variance s²_i / z_i (i.e. écart-type s_i / racine(z_i) )

    Es-tu d'accord avec ça ?

  4. #3
    gg0

    Re : Incertitude

    Bonjour.

    Si tu prends comme valeur approchée la moyenne m de n mesures, alors l'écart type sur cette moyenne, , est donné par

    où S est l'écart type de l'ensemble des n valeurs (ou l'estimateur de l'écart type de la population).

    Cordialement.

  5. #4
    leon1789

    Re : Incertitude

    Ah, on est dans un forum niveau lycée, donc je simplifie mon rappel : toujours avec mes notations,
    la valeur x_i est celle d'une variable aléatoire X_i qui suit une loi de probabilité de moyenne x et de variance s²_i / z_i, ie. d'écart-type t _i = s_i / racine(z_i)

    Si Loreilei comprend cela, c'est déjà un premier pas.

  6. #5
    leon1789

    Re : Incertitude

    si Loreilei ne connait pas le théorème centrale limite (car en lycée) , c'est pas grave : il suffit de savoir que la somme de variables aléatoires indépendantes, d'espérance x et de variance est une variable aléatoire d'espérance et de variance .

    Après on passe en moyenne sur ces valeurs : est la valeur d'une variable aléatoire d'espérance et de variance .

  7. #6
    gg0

    Re : Incertitude

    Loreilei,

    tu peux chercher sur Internet les sujets "intervalle de fluctuation", "intervalle de confiance". Dans ton cas, il ne s'agit probablement pas d'incertitude au sens stricte, mais d'intervalles de confiance.

  8. #7
    leon1789

    Re : Incertitude

    Dernier point important (en ce qui me concerne, pour l'instant, tant Loreilei ne répond pas) :
    - on suppose que est la valeur d'une variable aléatoire d'espérance et de variance , pour i allant de 1 à n=10.
    - on suppose les variables aléatoires indépendantes.

    On cherche une moyenne pondérée des , disons
    ,
    afin d'estimer "au mieux" , ie. en minimisant la variance (ou l'écart-type, cela revient au même) de la variable aléatoire
    .

    La variance de est
    .

    La valeur minimale de est atteinte lorsque
    .

    C'est avec ces valeurs des que l'on obtient la "meilleure" estimation de à partir des .

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