démontrer qu'une suite est décroissante

Bob87 · 15/09/2006 - 20h21

Bonjour à tous je vous sollicite à cause d'un petit problème avec une suite.

Le début de l'exercice nous a permis de déterminer que Wn=-11+12x(1/12)n

Je veux démontrer que Un= (2Wn)/3 est décroissant .
J'ai déjà utilisé la relation Un+1-Un
Comment dois-je m'y prendre ?

Je sais aussi que lim Wn=-11

Je vois plusieurs pistes pour démontrer la décroissance : étudier le signe de Un, peut être utiliser le fait qu'elle est convergente ?

Gwyddon · 15/09/2006 - 21h08

Bonsoir,

Je réécris ton énoncé, des fois que je ne l'ai pas bien saisi (tu me corriges si c'est le cas) :

$\displaystyle w_n = -11 + 12 \times \frac{1}{12} n$

Et

$\displaystyle u_n = \frac{2}{3} w_n$

Si c'est bien ça, il n'y a aucun soucis pour déterminer le sens de variation des deux suites, qui sont toutes deux croissantes (et non décroissantes), et la limite de w_n est $+ \infty$ , pas -11.

J'en déduis donc que tu as mal écrit ton énoncé, et que la suite était sans doute

$\displaystyle w_n = -11 + \frac{1}{n}$ (le 12 est simplifiable)

Là encore, c'est très simple il suffit de faire u_n+1-u_n et de déterminer le signe du résultat (ce n'est vraiment pas compliqué), tu vas te rendre compte que c'est négatif et donc que ta suite est bien décroissante

Bob87 · 15/09/2006 - 21h30

ah c'est bien reçu ! Mais la suite Wn=2Wn/3 et non pas 2/3 de Wn.

Donc en faisant ce calcul : (-22+(2/n))/3 je dois trouver un résultat négatif. Correct ?

Gwyddon · 15/09/2006 - 21h37

Ton dernier message manque encore de clarté !

N'hésite pas à utiliser les parenthèses et le symbole *

Tel que c'est écrit, pour moi 2W_n/3 c'est la même chose que (2/3)* w_n

Et tu écris w_n à gauche et à droite de l'égalité

Donc dans l'immédiat, je ne peux pas savoir ce que tu calcules...

kNz · 15/09/2006 - 22h09

Envoyé par Gwyddon

Tel que c'est écrit, pour moi 2W_n/3 c'est la même chose que (2/3)* w_n

J'ai l'impression que 2W_n/3 n'est pas égal à (2/3)W_n pour Bob87, non ?

${\frac{2W_n}{3} = \frac{2 \times W_n}{3} = 2\times\frac{W_n}{3} = \frac{2}{3}W_n}$

J'ai ptet pas du tout compris, mais au vu des deux derniers messages, le problème semble être là,

Désolé si j'suis hors sujet

A+

Bob87 · 15/09/2006 - 22h15

Donc il ya eu des questions avant celle ci :

énoncé :

Soit (Un)n>0 et (Vn)n>0 deux suites réelles définies par U1=12, V1=1 et pour tour réel n appartient a IN :

Un+1=(Un+2Vn)/3 et Vn+1=(Un+3Vn)/4
Pour tout n appartient a IN on pose : Wn=Vn-Un

1) Démontrer que Wn est géométrique.
2)Exprimer Wnen fonction de n.
3) Démontrer que la suite Wn est convergente et déterminer sa limite.

4)Démontrer que la suite Un est décroissante et que Vn est croissante.

DOnc j'en suis à la 4ème question et j'essaie de prouver que Un est décroissante : j'ai fais Un+1 - Un

et je trouve (-2Un+2Vn)/3 soit 2(-Un+Vn)

j'ai trouvé précedemment que -Un+Vn = Wn

donc (2Wn)/3 et là je coince un peu.

Bob87 · 16/09/2006 - 11h37

Personne n'a d'idées ?

Gwyddon · 16/09/2006 - 13h46

Bonjour,

Plusieurs choses :

_ ton expression de w_n est fausse. Rappel : si w_n est géométrique de raison a, alors w_n = w₁*aⁿ .

_ Il s'ensuit que ta limite est fausse. Une fois rectifiée l'expression de w_n, ça devrait aller mieux

_ Faire u_n+1-u_n est très bien, et tu as raison ça fait (2/3)w_n (et je te rappelle que (2w_n)/3 c'est pareil que (2/3)w_n ).

Une fois que tu auras la bonne expression de w_n, tu pourras sans problème déterminer le signe de u_n+1-u_n (et pareil pour v_n+1-v_n )

Bob87 · 16/09/2006 - 13h55

Ok alors Wn=W1*qn

-11x(1/12)n

Ok ?

Gwyddon · 16/09/2006 - 14h15

Euh... Désolé j'ai rippé

Je voulais dire w_n = w₀* q^n-1

Bon sinon tu as compris le truc, et l'expression juste ici c'est $\displaystyle w_n = \frac{-11}{12^{n-1}}$

Maintenant, tu as toutes les cartes en main pour faire la suite

EDIT : ah et pour la dernière fois, fait un effort sur la lisibilité.... pour un exposant, écrit q^n et pas qn

Patrice007 · 11/11/2006 - 19h02

Envoyé par Gwyddon

Euh... Désolé j'ai rippé

Je voulais dire w_n = w₀* q^n-1

Bon sinon tu as compris le truc, et l'expression juste ici c'est $\displaystyle w_n = \frac{-11}{12^{n-1}}$

Maintenant, tu as toutes les cartes en main pour faire la suite

EDIT : ah et pour la dernière fois, fait un effort sur la lisibilité.... pour un exposant, écrit q^n et pas qn

Prendre :
w_n = w₁* q^n-1
Avec w₁ = -11 = V₁ - U₁

Patrice007 · 11/11/2006 - 19h35

3°)
Pour la suite du problème on pose :
Wn = -132*(1/12)^n
Quand n -> infini ; lim Wn = 0 ; car (1/12)^n tend vers zéro

4°) Pour Un
Vn = Un + Wn = Un -132*(1/12)^n
On substitue Vn dans Un+1
Un+1 = (Un)/3 + (2/3)*(Un -132/(12^n))
= Un - 88/(12^n)
D'où "Un" Décroissante

Idem pour Vn
Un = Vn - Wn = Vn +132*(1/12)^n
Vn+1 = Vn + 33/(12^n)
D'où "Vn" Croissante