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[Spé] Reste d'une division euclidienne

  1. babaz

    Date d'inscription
    septembre 2005
    Messages
    585

    [Spé] Reste d'une division euclidienne

    Bonsoir,


    J'ai un exerice qui me demande de trouver le reste de par 11.

    J'ai cru comprendre que pour parvenir à une "congruence finale", je devais plus ou moins effectuer 2 par 11, ce qui me donnerait

    Comment, à partir de là, puis-je trouver le reste (en l'occurrence 4) ?


    Merci beaucoup


     


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  2. shokin

    Date d'inscription
    mars 2004
    Localisation
    Suisse
    Âge
    30
    Messages
    8 402

    Re : [Spé] Reste d'une division euclidienne

    Salut,

    Dans ce genre d'exercice, une idée est de trouver un multiple de 11 qui soit la somme de puissance de 2, si possible le moins possible, càd 2 (car plus simple pour la suite).

    11 = 1+2+8
    22 = 2+4+16
    33 = 1+32 (youpie !)

    1+32 est multiple de 11

    Donc (1+32)C(0)[mod(11)] [C = est congruent à ]

    Si a est multiple de b, tous les multiple de sont multiples de b.

    Donc tous les multiples de (1+32) sont congruents à 0 modulo 11.

    Donc, je peux multiplier (1+32) autant de fois par 2 que je veux, ça restera un multiple de 11.

    1+32 = 2^n + 2^(n+5) pour n = 0

    Tu démontres par récurrence que (2^n + 2^(n+5)) est multiple de 11 pour tout n entier naturel.



    Alors tu as [2^n + 2^(n+5)]C[0] mod(11)

    Prenons alors 2^19...

    2^14 + 2^19 est donc multiple de 11.
    2^9 + 2^14 est aussi multiple de 11.

    Par conséquent, 2^19 est congruent à 2^9 modulo 11.

    Tu remarques alors que (2^n)C(2^(n+10)) mod(11) pour tout n.

    Donc 2^9 est congruent à 2^19 modulo 11.

    Mais comme 2^n + 2^(n+5) est congruent à 0 modulo 11, -(2^n) est congruent à 2^(n+5) modulo 11.

    Donc, avec n=4, 2^9 est congruent à - 2^4 modulo 11.

    Par transitivité 2^19 est congruent à -16 modulo 11.

    -16 est congruent à 6 modulo 11, et par transitivité,... je ne trouve pas 4 comme reste.



    Shokin
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  3. invité576543
    Invité

    Re : [Spé] Reste d'une division euclidienne

    Il y a bien plus simple, par le théorème de Fermat. On en déduit immédiatement et à vue que 219 à la même congruence que l'inverse de 2, c'est à dire 6 (calculable à vue, là encore).

    Cordialement,
     

  4. shokin

    Date d'inscription
    mars 2004
    Localisation
    Suisse
    Âge
    30
    Messages
    8 402

    Re : [Spé] Reste d'une division euclidienne

    Je n'ai pas compris, mmy. L'inverse de 2 est bien 0,5 ? Je ne suis pas un spécialiste de l'usage du théorème de Fermat.

    Shokin
    Nous sommes libres. Wir sind frei. We are free. Somos libres. Siamo liberi.
     

  5. invité576543
    Invité

    Re : [Spé] Reste d'une division euclidienne

    L'inverse de 2 modulo 11.

    1/2 modulo 11 vaut 6, parce que 6 fois 2 = 12, soit 1 modulo 11.

    Quand à Fermat, si j'explique trop, ça fait l'exo à la place de Mr Babaz...

    Cordialement,
     


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  6. shokin

    Date d'inscription
    mars 2004
    Localisation
    Suisse
    Âge
    30
    Messages
    8 402

    Re : [Spé] Reste d'une division euclidienne

    Ah ! mais oui !

    Shokin
    Nous sommes libres. Wir sind frei. We are free. Somos libres. Siamo liberi.
     

  7. ramziiiiii

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Messages
    1

    Re : [Spé] Reste d'une division euclidienne

    bonjour moi jai un probleme d'exercises osi je suis bloqué pouvé vous maidé !!! voila lénoncé :

    n désigne un entier naturel non nul . quel est le reste de la division euclidienne :
    de 2n^2 + n par n + 1 ????

    si vous pouviez m'expliker comment aborder cette keston svp .
    merci d'avance.
     


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