bonjour à tous,
je suis en terminale S spé math et je trouve les débuts assez difficiles...
je bloque sur un exercice, ce n'est pas dans le cadre d'un DM donc il n'y a pas d'urgence, je voudrais seulement avoir quelques pistes
"trouver tous les couples d'entiers relatifs (x,y) dont la somme est un multiple du produit"
merci d'avance
je suis aussi affolé par la difficulté des exos de spe maths !!!
D'apres ton truc on devrait avoir x+Y=kxy avec K entier relatif
on peut ecrire x(1-Ky)+y=0 mais ça n'a aucun interet ...
oui en effet
il faut peut être faire avec les congruences puisque c'est ce que nous venons juste de voir....
il y aussi un autre exercice (sur 12) sur lequel je doute :
les mesures des côtés d'un triangle rectangle sont des nombres entiers naturels a,b et c.
1) montrer que l'un au moins des nombres a, b et c est pair.
2) montrer que l'un au moins des nombres a,b, c est multiple de 3
3) montrer que l'un au moins des nombres a,b, c est multiple de 4
4)montrer que l'un au moins des nombres a,b, c est multiple de 5
je pense avoir trouvé pour pair
pour multiple de 3, est-ce que je dois faire :
si a = 3k + 1 et si a = 3k + 2 ?
Ce ne serait pas plutôt le produit qui est un multiple de la somme ?Envoyé par lulu47
non c'est bien la somme qui est multiple du produit...
En fait ce type de question t'invite à raisonner par l'absurde.
Donc prend par exemple des valeurs qui ne sont pas multiples de 3, et montre que ça ne marche pas: tu auras montrer que un, au moins, des côtés doit être un multiple de 3.
@+
Et si on mettait ensemble les divers éléments fournis par les divers intervenants :
* x+y = kxy
* utiliser les congruences
Modulo quoi ? Je vois deux candidats qui s'agitent, là, devant mes yeux...
Alors ça ne peut se faire qu'avec des 0, 1 et 2
merci à tous pour votre aide mais Jean-Paul, tu ne m'es pas d'une grande aide, que veut dire le "ça ne peut se faire qu'avec" ?
Si la somme est un multiple du produit, c'est que la somme est supérieure au produit. Regarde et tu verras que dès que les nombres sont plus grands que 2, ça n'est pas possible.
merci beaucoup !
j'avais effectivement remarqué que x+y>xy mais je pensais que c'était inutile
Pour la divisibilité par 3 :
On note A, B et C les modulo-3 des nombres a, b et c.
A, B et C valent 0 ou 1 ou 2.
On a a2+b2=c2 (pythagore), donc A2+B2=C2.
Or dans Z/3Z on a 0*0=0, 1*1=1 et 2*2=1. (autrement dit, tout carré vaut 0 ou 1).
A partir de là on raisonne par l'absurde : supposons que ni a ni b n'est divisible par 3. Donc A*A=B*B=1. Par conséquent C*C=2, ce qui est impossible.
Pour la divisibilité par 4 :
Les carrés dans Z/4Z valent 0 ou 1 uniquement (comme dans Z/3Z). Même raisonnement.
Pour la divisibilité par 5 :
Les carrés dans Z/5Z valent 0, 1 ou 4 uniquement. Si a et b ne sont pas divisibles par 5, la somme A*A+B*B vaut 2, 0 ou 3. Comme cette somme doit être un carré, elle ne peut valoir que 0, et comme dans Z/5Z seul 0 a pour carré 0, on en conclut que c est divisible par 5. Conclusion : soit a ou b est divisible par 5, soit ce n'est pas le cas, et alors c est divisible par 5. CQFD.
Or dans Z/3Z on a 0*0=0, 1*1=1 et 2*2=1. (autrement dit, tout carré vaut 0 ou 1).
je ne comprend pas ce passage, que veut dire Z/3Z ?
est-ce que ça voudrait dire que comme 2x2 = 4, le reste dans la division par 3 est de 1 ?
je suis désolée on vient à peine de commencer les congruences modulo...
sinon pour la divisibilité par 5, peut-on dire :
A*A + B* B = 2 ou 5 ou 8
C*C ne peut pas être égal à un de ces trois
donc au moins un est multiple de 5
si c'est faux, c'est alors que je n'ai pas compris, pourtant j'ai l'impression d'avoir compris la divisibilité par 3 et 4....
ah oui et dernière question : que veut dire le CQFD de la fin ? (moi = trop naïve ???)
sinon pour tous ceux qui viennent regarder sans poster, je mettrai la réponse du prof demain !
C'est inutile(où est mon casque à pointe, j'entends les scuds qui sifflent au loin).
Si x+y = kxy, regarde modulo x : le terme de droite s'annule, à gauche x diparaît, il reste
ce qui signifie que x|y.
Remplace x par y et tu obtiens y|x.
Deux nombres entiers positifs qui se divisent mutuellement ... mais, c'est bien sûr ! Ils sont ...
Ce Qu'il Fallait Démontrer.
Fin de la preuve, l'artiste se prosterne, la foule applaudit.
