1/ Soit la suite définie par: x1=(1), x(n+1)=x(n)+x(int(sqrt(n)).
Pour tout k entier, existe-t-il n0 tel que x(n0),x(n0),...,x(n0+k) soient tous divisibles par 3?
2/ a,b,c,d naturels et vérifient: a^2+b^2+ab=c^2+d^2+cd.
a+b+c+d est-il forcément composé ?
3 / Maximiser (1-a)^(1/4)-a^(1/4)+(1+a)^(1/4)
4/ Soitent x0,...,xn des réels rangés dans l'ordre décroissant.
mq: x0+1/(x0-x1)+...+1/(x(n-1)-x(n))>=x(n)+2n
5/ x,y,z appartiennent a [2,4].
Mq x/(y^2-z)+y/(z^2-x)+z/(x^2-y)>1
6/ Quel ensemble décrit f(x,y,z)={xyz/(xy+yz+zx)}
avec x,y,z naturels.
Note : {x} est la partie fractionnaire de x.
7/ Trouver tous les polynomes à deux variables P(x,y) qui verifient pour tous x,y : P(x+y,y-x)=P(x,y)
8/ Trouvre les solutions positives de min(a,b)min(c,1998)=min(a,c)mi n(b,1998)
9/ Mq pout tout n naturel: (1+1/n)(2+1/n)...(n+1/n)<=2n!
10/ le naturel n est tel que int(sqrt(n))+1 divise n+1.
Mq int(sqrt(n))-1 divise (n-1)(n-3).
11/ Si n est un entier non nul, on considere l'ensemble A={n,n+1...,n+17}.
Peut-on trouver des valeurs de n pour lesquelles il existe un partage de A en deux ensembles disjoints B et C de telle sorte que le produit des elements de B soit egal au produit des elements de C ?
12/ Dans un parallelogramme ABCD, on se donne M sur [AB] et N sur [BC] de sorte que les segments [AM] et [CN] aient des longueurs egales non nulles. (AN) et (CM) se coupent en Q.
Montrer que DQ est la bissectrice de ADC.
13/ Dans le plan rapporte a un repere orthonormal, tout point a coordonnees entieres est le centre d'un disque de rayon 1/1000.
Montrer qu'il existe un triangle equilateral dont les trois sommets sont dans des disques differents.
Montrer qu'un tel triangle a es cotes de longueur plus grande que 96.
14/ Soit n un entier naturel non nul.
On considere 2n reels strictement positifs a1,...,an et b1,...,bn verifiant
a1+...+an=b1+...+bn=1
Trouver la plus petite valeur de a12/(a1+b1)+...+a(n)2/(a(n)+b(n))
15/ Le cercle inscrit dans ABC est tangent a AB,BC,CA aux points P,Q,R.
Montrer: BC/PG+CA/QR+AB/RP>=6
16/ On note P l'ensemble des nombvres premiers.
On considere une partie M de P ayant au moins trois elements. On suppose que, pour tout sous-ensemble fini (non vide) strict de M (c'est a dire A != M), les facteurs premiers de l'entier (produit des elements de A) - 1 appartiennent a M.
Montrer que M=P.
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Re : Plein d'exos :-)
