nombres premiers

[invitedffbb6ef]

Salut tout le monde
Voila un petit casse tete pour vous amuser

Soit Pn la suite strictement croissante des nombres premiers
(P1 = 2, P2 = 3, P3 = 5......)

la suite P(n+1)-Pn est elle bornée ? Donner la preuve.

Bon amusement.
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[invite37968ad1]

la réponse est ......
et si on laissait les autres chercher?

Une indication (en codage césar)
jm gbvu qfotfs b gbdupsjfmmf o

[invite9e95248d]

si on la suppose bornée, alors comme p(n+1)-p(n) est croissante, elle admet donc une limite finie L
On passe à la limite en n, il sort L=0 impossible, donc la suite n'est pas bornée.

[invitec12706a7]

moi j'ai cherché un programme pour décoder n'importe quel codage césar, j'en ai fait un petit sous Excel, il me dit quelle est la lettre la plus fréquente afin de suggérer la translation des lettres puis me le décode. (c'est peut-être plus facile à la main si le codage est de décaler juste de 1, mais c'est utile si la translation des lettres est plus lointaine)

mais le problème des nombres premiers est joli aussi

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gaétan]

Attention, P(n+1)-P(n) n'est pas partout croissant, on retombe régulièrement à 2. C'est peut-être borné, mais je pense pas que la limite existe.
Ben, chaipô comment on peut le démontrer mais je dirais que c'est borné.

[invitedffbb6ef]

la suite n'est pas croissante les gars, reflichissez un petit peu

[invite9e95248d]

oula exact grossiere erreur o_o

[invite9e95248d]

en fait ça revient à demander s'il existe une constante M telle que
P(n+1)=< P(n)+M
On pourrait prendre pour M le plus grand écart possible entre deux nombres premiers consécutifs, mais comme il y en a une infinité ça semble difficile à déterminer ^^

[Gaétan]

en fait ça revient à demander s'il existe une constante M telle que
P(n+1)=< P(n)+M

pour tout n.
C'est peut-être sous-entendu, mais faut le mettre.
Peut-être qu'on s'en fous de déterminer M, savoir qu'elle existe suffit, non ?

[invite9e95248d]

oué c'était sous entendu
le probleme c'est que c'est pas dit qu'elle existe
a moins qu'il ait été prouvé que l'écart entre deux nombres premiers est d'au plus une certaine valeur, mais ça je sais pas si ça à été fait et encore moins si c'est juste :l

[invite3f53d719]

Heu, moi je suis presque sur que mon prof de spé maths m'a dit que l'on pouvait trouver un écart aussi grand que l'on veut entre deux premiers consécutifs... donc vaut mieux chercher à montrer qu'elle n'est pas bornée

Eric

[invite9e95248d]

bon bah donc c'est reglé, elle est pas bornée

[invitedffbb6ef]

Pour vous aider les gars; elle est bornée.Essayez de le prouver

[invitedffbb6ef]

pardon les gars, je voulais dire, elle est pas bornée, essayer de le prouver.Pardon pour cette erreur

[invite9e95248d]

ben elle est pas bornée d'apres ce que dit Eric

[invite3f53d719]

[HS]Tu peux éditer tes messages dans les minutes qui suivent ton message[/HS]

[invitec12706a7]

on peut montrer qu'il existe des suites arbitraiement longues de nombres ne contenant aucun nombres premiers.

[invite3f53d719]

Bah si quelqu'un a la réponse... moi ca m'interresse! Merci

[invitedffbb6ef]

Salut
si tu insiste pour la reponse ,
Remarque que l'intervalle [n!+2,n!+n] ne contient aucun nombre premier, sa longueur
est n-1, donc si on prend le Pm juste avant n!+2 et le P(m+1) juste apres n!+n, on a alors P(m+1)-Pm > n-2 .Donc la suite n'est pas bornée

[invitee520f70a]

salut
desole mais je comprends pas ce que tu dis
y a peut etre un truc que j ai pas vu
ta suite d entiers est elle construite de maniere precise ou est aleatoire?
c peut etre ca qui fait que je comprends pas
ciao

[inviteb1bc40d0]

quel que soit n:
n!+2 est divisible par 2 (2 et n! le sont)
n!+3 est divisible par 3
n!+x est divisible par x (2<=x<=n)

on a donc n-1 nombres consécutifs non premiers.

[invitedffbb6ef]

Bravo gargulp.
t'as vu BOF, Gargulp, l'a bien vue.

[droupi]

Une variante du même genre avec P = Produit des n premiers nombres premiers
[P+2; P+n] ne contient pas de nombres premiers (n <= P, donc décomposable en facteur premiers de P)

[inviteb1bc40d0]

bien vu

Sinon, un autre pb du même style et très connu:

Montrer qu'il y a une infinité de nombre premiers.

[invitef6a8dd1c]

"Facile", si on connait la complexité de Kolmogorov, et la version du théorème d'incomplétude qui en découle
Mais il y a de ce fait pas mal de démonstrations à faire, avant de pouvoir conclure. J'imagine qu'il y a plus simple

Geoffrey

[Coincoin]

C'est le même genre de démonstation que celle d'avant... Tu supposes qu'il y a un nombre fini de nombres premiers, tu prends le produit et tu rajoutes 1, tu trouves donc un nombre premier plus grand -> absurde
Geof, pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?

[invitef6a8dd1c]

C'est surtout la démonstration qui était la plus "fraîche" dans ma mémoire, vu que je me suis intéressé récemment à la théorie de l'information
Mais effectivement, celle que tu proposes est celle que j'ai dû voir dans mes cours de prépa

Geoffrey

[Coincoin]

Ben disons que "ma" démonstration a surtout le mérite de tenir en 2 lignes et de ne pas nécessiter des théorèmes aux noms barbares

[inviteb1bc40d0]

et qui sait si les théorèmes barbares en question ne reposent qq part sur le fait qu'il y a une infinité de premiers !

[invitef6a8dd1c]

Non, non, la démarche est différente, et repose sur les algorithmes de compression (pour faire simple).
La complexité de Kolmogorov est en gros la quantité minimale d'"information" pour décrire un "objet".
On peut montrer en fait qu'elle n'est pas calculable, et à partir de là, on peut montrer qu'il y a nécessairement un nombre infini d'entiers premiers.

Si ça t'intéresse, une bonne introduction est donnée par les notes de cours de A. Shen:

http://www.csd.uu.se/~vorobyov/Courses/KC/2000/all.ps

Geoffrey