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nombres premiers



  1. #1
    science_82

    nombres premiers

    Salut tout le monde
    Voila un petit casse tete pour vous amuser

    Soit Pn la suite strictement croissante des nombres premiers
    (P1 = 2, P2 = 3, P3 = 5......)

    la suite P(n+1)-Pn est elle bornée ? Donner la preuve.

    Bon amusement.

    -----


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  3. #2
    curieux

    Re : nombres premiers

    la réponse est ......
    et si on laissait les autres chercher?

    Une indication (en codage césar)
    jm gbvu qfotfs b gbdupsjfmmf o

  4. #3
    folky

    Re : nombres premiers

    si on la suppose bornée, alors comme p(n+1)-p(n) est croissante, elle admet donc une limite finie L
    On passe à la limite en n, il sort L=0 impossible, donc la suite n'est pas bornée.

  5. #4
    Jedeki

    Re : nombres premiers



    moi j'ai cherché un programme pour décoder n'importe quel codage césar, j'en ai fait un petit sous Excel, il me dit quelle est la lettre la plus fréquente afin de suggérer la translation des lettres puis me le décode. (c'est peut-être plus facile à la main si le codage est de décaler juste de 1, mais c'est utile si la translation des lettres est plus lointaine)

    mais le problème des nombres premiers est joli aussi
    2+2=4.17985

  6. #5
    Gaétan

    Re : nombres premiers

    Attention, P(n+1)-P(n) n'est pas partout croissant, on retombe régulièrement à 2. C'est peut-être borné, mais je pense pas que la limite existe.
    Ben, chaipô comment on peut le démontrer mais je dirais que c'est borné.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    science_82

    Re : nombres premiers

    la suite n'est pas croissante les gars, reflichissez un petit peu

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  10. #7
    folky

    Re : nombres premiers

    oula exact grossiere erreur o_o

  11. #8
    folky

    Re : nombres premiers

    en fait ça revient à demander s'il existe une constante M telle que
    P(n+1)=< P(n)+M
    On pourrait prendre pour M le plus grand écart possible entre deux nombres premiers consécutifs, mais comme il y en a une infinité ça semble difficile à déterminer ^^

  12. #9
    Gaétan

    Re : nombres premiers

    Citation Envoyé par folky
    en fait ça revient à demander s'il existe une constante M telle que
    P(n+1)=< P(n)+M
    pour tout n.
    C'est peut-être sous-entendu, mais faut le mettre.
    Peut-être qu'on s'en fous de déterminer M, savoir qu'elle existe suffit, non ?

  13. #10
    folky

    Re : nombres premiers

    oué c'était sous entendu
    le probleme c'est que c'est pas dit qu'elle existe
    a moins qu'il ait été prouvé que l'écart entre deux nombres premiers est d'au plus une certaine valeur, mais ça je sais pas si ça à été fait et encore moins si c'est juste :l

  14. #11
    Eric78

    Re : nombres premiers

    Heu, moi je suis presque sur que mon prof de spé maths m'a dit que l'on pouvait trouver un écart aussi grand que l'on veut entre deux premiers consécutifs... donc vaut mieux chercher à montrer qu'elle n'est pas bornée

    Eric
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.

  15. #12
    folky

    Re : nombres premiers

    bon bah donc c'est reglé, elle est pas bornée

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  17. #13
    science_82

    Re : nombres premiers

    Pour vous aider les gars; elle est bornée.Essayez de le prouver

  18. #14
    science_82

    Re : nombres premiers

    pardon les gars, je voulais dire, elle est pas bornée, essayer de le prouver.Pardon pour cette erreur

  19. #15
    folky

    Re : nombres premiers

    ben elle est pas bornée d'apres ce que dit Eric

  20. #16
    Eric78

    Re : nombres premiers

    [HS]Tu peux éditer tes messages dans les minutes qui suivent ton message[/HS]
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.

  21. #17
    Jedeki

    Re : nombres premiers

    on peut montrer qu'il existe des suites arbitraiement longues de nombres ne contenant aucun nombres premiers.
    2+2=4.17985

  22. #18
    Eric78

    Re : nombres premiers

    Bah si quelqu'un a la réponse... moi ca m'interresse! Merci
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.

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  24. #19
    science_82

    Re : nombres premiers

    Salut
    si tu insiste pour la reponse ,
    Remarque que l'intervalle [n!+2,n!+n] ne contient aucun nombre premier, sa longueur
    est n-1, donc si on prend le Pm juste avant n!+2 et le P(m+1) juste apres n!+n, on a alors P(m+1)-Pm > n-2 .Donc la suite n'est pas bornée

  25. #20
    bof

    Re : nombres premiers

    salut
    desole mais je comprends pas ce que tu dis
    y a peut etre un truc que j ai pas vu
    ta suite d entiers est elle construite de maniere precise ou est aleatoire?
    c peut etre ca qui fait que je comprends pas
    ciao

  26. #21
    gargulp

    Re : nombres premiers

    quel que soit n:
    n!+2 est divisible par 2 (2 et n! le sont)
    n!+3 est divisible par 3
    n!+x est divisible par x (2<=x<=n)

    on a donc n-1 nombres consécutifs non premiers.

  27. #22
    science_82

    Re : nombres premiers

    Bravo gargulp.
    t'as vu BOF, Gargulp, l'a bien vue.

  28. #23
    droupi

    Re : nombres premiers

    Une variante du même genre avec P = Produit des n premiers nombres premiers
    [P+2; P+n] ne contient pas de nombres premiers (n <= P, donc décomposable en facteur premiers de P)
    Dernière modification par droupi ; 22/06/2004 à 05h56.

  29. #24
    gargulp

    Re : nombres premiers

    bien vu

    Sinon, un autre pb du même style et très connu:

    Montrer qu'il y a une infinité de nombre premiers.

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  31. #25
    Geof

    Re : nombres premiers

    "Facile", si on connait la complexité de Kolmogorov, et la version du théorème d'incomplétude qui en découle
    Mais il y a de ce fait pas mal de démonstrations à faire, avant de pouvoir conclure. J'imagine qu'il y a plus simple

    Geoffrey

  32. #26
    Coincoin

    Re : nombres premiers

    C'est le même genre de démonstation que celle d'avant... Tu supposes qu'il y a un nombre fini de nombres premiers, tu prends le produit et tu rajoutes 1, tu trouves donc un nombre premier plus grand -> absurde
    Geof, pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?
    Encore une victoire de Canard !

  33. #27
    Geof

    Re : nombres premiers

    C'est surtout la démonstration qui était la plus "fraîche" dans ma mémoire, vu que je me suis intéressé récemment à la théorie de l'information
    Mais effectivement, celle que tu proposes est celle que j'ai dû voir dans mes cours de prépa

    Geoffrey

  34. #28
    Coincoin

    Re : nombres premiers

    Ben disons que "ma" démonstration a surtout le mérite de tenir en 2 lignes et de ne pas nécessiter des théorèmes aux noms barbares
    Encore une victoire de Canard !

  35. #29
    gargulp

    Re : nombres premiers

    et qui sait si les théorèmes barbares en question ne reposent qq part sur le fait qu'il y a une infinité de premiers !

  36. #30
    Geof

    Re : nombres premiers

    Non, non, la démarche est différente, et repose sur les algorithmes de compression (pour faire simple).
    La complexité de Kolmogorov est en gros la quantité minimale d'"information" pour décrire un "objet".
    On peut montrer en fait qu'elle n'est pas calculable, et à partir de là, on peut montrer qu'il y a nécessairement un nombre infini d'entiers premiers.

    Si ça t'intéresse, une bonne introduction est donnée par les notes de cours de A. Shen:

    http://www.csd.uu.se/~vorobyov/Courses/KC/2000/all.ps

    Geoffrey

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