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Plein d'exos :-)



  1. #1
    Lord

    Plein d'exos :-)


    ------

    1/ Soit la suite définie par: x1=(1), x(n+1)=x(n)+x(int(sqrt(n)).
    Pour tout k entier, existe-t-il n0 tel que x(n0),x(n0),...,x(n0+k) soient tous divisibles par 3?

    2/ a,b,c,d naturels et vérifient: a^2+b^2+ab=c^2+d^2+cd.
    a+b+c+d est-il forcément composé ?

    3 / Maximiser (1-a)^(1/4)-a^(1/4)+(1+a)^(1/4)

    4/ Soitent x0,...,xn des réels rangés dans l'ordre décroissant.
    mq: x0+1/(x0-x1)+...+1/(x(n-1)-x(n))>=x(n)+2n

    5/ x,y,z appartiennent a [2,4].
    Mq x/(y^2-z)+y/(z^2-x)+z/(x^2-y)>1

    6/ Quel ensemble décrit f(x,y,z)={xyz/(xy+yz+zx)}
    avec x,y,z naturels.
    Note : {x} est la partie fractionnaire de x.

    7/ Trouver tous les polynomes à deux variables P(x,y) qui verifient pour tous x,y : P(x+y,y-x)=P(x,y)

    8/ Trouvre les solutions positives de min(a,b)min(c,1998)=min(a,c)mi n(b,1998)

    9/ Mq pout tout n naturel: (1+1/n)(2+1/n)...(n+1/n)<=2n!

    10/ le naturel n est tel que int(sqrt(n))+1 divise n+1.
    Mq int(sqrt(n))-1 divise (n-1)(n-3).


    11/ Si n est un entier non nul, on considere l'ensemble A={n,n+1...,n+17}.
    Peut-on trouver des valeurs de n pour lesquelles il existe un partage de A en deux ensembles disjoints B et C de telle sorte que le produit des elements de B soit egal au produit des elements de C ?

    12/ Dans un parallelogramme ABCD, on se donne M sur [AB] et N sur [BC] de sorte que les segments [AM] et [CN] aient des longueurs egales non nulles. (AN) et (CM) se coupent en Q.
    Montrer que DQ est la bissectrice de ADC.

    13/ Dans le plan rapporte a un repere orthonormal, tout point a coordonnees entieres est le centre d'un disque de rayon 1/1000.
    Montrer qu'il existe un triangle equilateral dont les trois sommets sont dans des disques differents.
    Montrer qu'un tel triangle a es cotes de longueur plus grande que 96.

    14/ Soit n un entier naturel non nul.
    On considere 2n reels strictement positifs a1,...,an et b1,...,bn verifiant
    a1+...+an=b1+...+bn=1
    Trouver la plus petite valeur de a12/(a1+b1)+...+a(n)2/(a(n)+b(n))

    15/ Le cercle inscrit dans ABC est tangent a AB,BC,CA aux points P,Q,R.
    Montrer: BC/PG+CA/QR+AB/RP>=6

    16/ On note P l'ensemble des nombvres premiers.
    On considere une partie M de P ayant au moins trois elements. On suppose que, pour tout sous-ensemble fini (non vide) strict de M (c'est a dire A != M), les facteurs premiers de l'entier (produit des elements de A) - 1 appartiennent a M.
    Montrer que M=P.

    -----
    Suis-je Amour le Phébus, Lusignon ou Biron ?

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  3. #2
    Coincoin

    Re : Plein d'exos :-)

    Bonjour à toi aussi...
    Encore une victoire de Canard !

  4. #3
    Lord

    Re : Plein d'exos :-)

    Bonjour !
    Suis-je Amour le Phébus, Lusignon ou Biron ?

  5. #4
    .:Spip:.

    Re : Plein d'exos :-)

    Salut

    Dis nous où tu bloques, tes propositions, tes calculs, on est là pour t'aider pas pour te donner les reponses....

    PS : n'oublie pas le "bonjour", c'est sympa surtout l'orsque l'on demande quelque chose et un merci aussi

    @+
    Soyez libre, utilisez Linux.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Lord

    Re : Plein d'exos :-)

    Bonjour,

    Ce sont divers exos (dont j'ai la solution ou dont je ne l'ai pas) et mon but n'est pas de trouver une solution, mais de vous donner le plaisir de les chercher

    Bonnée soirée.
    Suis-je Amour le Phébus, Lusignon ou Biron ?

  8. #6
    .:Spip:.

    Re : Plein d'exos :-)

    ok d'accord, n'hésite pas à le préciser !!! Et c'est de quel niveau ?
    Soyez libre, utilisez Linux.

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  10. #7
    Lord

    Re : Plein d'exos :-)

    Euh... ben je pense pas qu'il faut des connaissances plus grandes que celles de Terminale.
    Suis-je Amour le Phébus, Lusignon ou Biron ?

  11. #8
    Lord

    Arrow Re : Plein d'exos :-)

    Personne n'a encore trouvé un exercice ?
    Suis-je Amour le Phébus, Lusignon ou Biron ?

  12. #9
    Paul_UTT

    Re : Plein d'exos :-)

    Salut,

    je ne comprends pas toutes les notations des formules : sqrt (racine carrée ?), int (intégrale ? ).
    En tout cas félicitations pour les Olympiades de maths !

  13. #10
    Lord

    Re : Plein d'exos :-)

    sqrt=racine carrée en effet, int(x) est la partie entière de x.
    Merci
    Suis-je Amour le Phébus, Lusignon ou Biron ?

  14. #11
    Antikhippe

    Re : Plein d'exos :-)

    Salut,

    sqrt = racine carrée, en effet : c'est la contraction de "square root".

    T'es un fan de Nerval à ce que je vois... (cf. El Desdichado).

  15. #12
    azt

    Re : Plein d'exos :-)

    A vue de nez pour le 1,

    On a une suite x(n) dont les termes doivent être divisibles par 3 à partir d'un rang n0. (1)

    Supposons que l'on connaisse ce rang n0, x(n0) étant le premier nombre des termes divisibles par 3
    En utilisant les crochets pour la fonction modulo (reste de la division par le nombre entre crochets) ,

    on a donc :
    x(n0)=0 [3]

    Or on sait que :

    x(n0)=x(n0-1)+x(int(racine(n0-1)))

    On a donc le choix entre trois possibilités :

    x(n0-1)=0 [3] et x(int(racine(n0-1)))=0 [3] --> x(n0-1) est divisible par 3 ce qui est contraire à (1).

    On se retrouve avec un nombre divisible par 3 juste avant n0, n0-1 est donc le premier terme...

    x(n0-1)=1 [3] et x(int(racine(n0-1)))=2 [3]
    et
    x(n0-1)=2 [3] et x(int(racine(n0-1)))=1 [3]
    .

    prenons
    x(n0-1)=1 [3] et x(int(racine(n0-1)))=2 [3]
    on a
    x(n0)=0 [3]
    Calculons x(n0+1) toujours en regardant le reste de la division par 3:
    x(n0+1)=x(n0)+x(int(racine(n0) )) [3]
    x(n0+1)=0+x(int(racine(n0))) [3]

    Or x(int(racine(n0))) et x(int(racine(n0-1))) ont un point commun...

    --> Sauf si n0 est un carré, on a :
    int(racine(n0))= int(racine(n0-1))
    et donc
    x(int(racine(n0))) = x(int(racine(n0-1)))
    ce qui nous donne
    x(n0+1)=0+x(int(racine(n0-1))) [3]
    x(n0+1)=0+2=2 [3]
    x(n0+1) n'est pas divisible par 3.

    --> Si n0 est un carré, on a
    x(int(racine(n0))) = x(int(racine(n0-1)))+1
    ce qui nous donne
    x(n0+1)=0+x(int(racine(n0-1)))+1 [3]
    x(n0+1)=0+2+1=0 [3]
    x(n0+ 2 )=x(n0+)+x(int(racine(n0+1))) [3]
    x(n0+2)=0+x(int(racine(n0)))=0 +2+1=0 [3]
    on va avoir plein de zéros, jusqu'à ce que ...
    x(int(racine(i-1))) = x(int(racine(i-2)))+1 [3]
    x(i)=x(i-1)+x(int(racine(i-1))) [3]
    x(i)=0+1 [3]
    x(i) n'est plus divisible par 3.

    Donc on a montré que si l'on a à un rang n0, x(n0) et les suivants divisibles par 3, alors on arrive à

    une contradiction.
    Et paf, Comme on contredit l'énoncé, il n'existe pas de n0 vérifiant l'énoncé.

    En reprenant l'autre possibilité x(n0-1)=2 [3] et x(int(racine(n0-1)))=1 [3], on retombe sur un

    problème similaire.

    J'en conclus qu'il n'existe pas de n0 vérifiant l'énoncé !

    J'ai bon ?

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