coucou, voila mon probleme:
si f^3(a)=a (attention ici la puissance est à comprendre au sens de la composition, comme dans la suite d'ailleurs)
alors on a soit a<f(a)<f^2(a) soit f^2(a)<f(a)<a
je précise que a est un un point de période 3 donc qu'il n'est pas possible que f(a)=a ou que f^2(a)=a.
Voila j'essaie depuis un moment mais je coince
Re : Inégalité pénible à prouver ^^
Envoyé par folky
???
C'est a dire???
Sauf erreur, je ne me trompe jamais
C'est-à-dire f(f(f(a)))
Folky, tu ne connais rien sur le sens de variation de ta fonction ?
Est-ce qu'on peut dire deja que f^2 = Id ?
Je dis n'importe quoi, désolé...
Ok, f^3 = Id mais quel est le problème ?
En tout cas, f ne peut pas être croissante, ni décroissante partout.
Si on suppose que a < f(a) < f²(a), et que l'on pose b = f(a).
f(b) = f²(a), et f²(b) = f³(a) = a, donc on obtient:
f²(b) < b < f(b).
Ta relation n'est pas vraie dans le cas général (si je ne me suis pas trompé)
(On montre la même chose avec l'autre inégalité)
Geoffrey
Re-boulette : il ne peut pas y avoir partout
a < f(a)
ni
a > f(a)
Tiens ça me fait penser au théorème de Sarkovskii
C'est quoi, le théorème de Sarkovskii ?
oui c'est pour mon mémoire de maitrise, c'est effectivement sur ce sujet
attention f^3 n'est pas l'identité, c'est juste en un point que c'est vrai.
Non coincoin, on sait jusque qu'elle est continue :l
Ben j'abandonne alors... Je pense que tu maîtrises () mieux que moi.
arf lol, si je pose la question c'est parce que de mon coté je tourne en rond justement
La nuit va être longue ^^
Je n'ai toujours pas compris le problème. Quelles sont tes hypothèses et ou est-ce que tu veux en venir ?
Google m'a permis de trouver ça : Je te laisse ujger, pour savoir si ça ti'ntèresse ou pas...
merci coincoin, je me serts déjà de cette url comme support
gillllloux:
hypothèses: s'il existe un a tel que f(f(f(a)))=a
alors on a soit a<f(a)<f(f(a)) soit f(f(a))<f(a)<a
s'il existe un a tel que f(f(f(a)))=a
alors on peut très bien avoir a < f(a) >= f(f(a))
ou bien a > f(a) <= f(f(a))
Il n'y a pas de contradiction avec les hypothèses, donc c'est normal que tu ne trouves pas de preuve.
nan mais gillloux c'est vrai alors pas la peine de te fatigué à essayer de montrer que c'est faux..
Tu as du oublier des hypothèses alors. Par exemple tout à l'heure, tu as dit que f était continue. Il n'y a rien d'autre, tu es certain ?
non f est continue et c'est tout.
Ceci dit d'un point de vue raisonnement tu dis qu'il est possible d'avoir:
a < f(a) >= f(f(a)) ou bien a > f(a) <= f(f(a))
sans en faire la preuve.
Enfin c'est pas le sujet -_-
Par contre s'il existe un a tel que f(f(f(a)))=a
alors il existe b tel que l'on ait soit b < f(b) < f(f(b))
soit b > f(b) > f(f(b))
... et avec f^3 (b) = b
cf http://boumbo.salle-s.org/xavier/secret/gtlycee/
Soit a tel que f^3 (a) = a
b = f (a)
c = f^2 (a)
b et c vérifient f^3 (b) = b et f^3 (c) = c
il y a 6 cas possibles :
a < b < c
b < c < a
c < a < b
a > b > c
b > c > a
c > a > b
Dans le 1er cas tu as la 1ere inégalité vérifiée pour a
Dans le 2eme cas tu as la 2eme inégalité vérifiée pour b
Dans le 3eme cas tu as la 3eme inégalité vérifiée pour c
Dans le 4eme cas tu as la 1ere inégalité vérifiée pour a
Dans le 5eme cas tu as la 2eme inégalité vérifiée pour b
Dans le 6eme cas tu as la 3eme inégalité vérifiée pour c
huuuuuuuuum ça a l'air pas mal ça ^^
je regarderais de plus pret dès que j'aurais résolu mes autres problèmes lol
Mais on cherche pour a, pas pour b ni c...
On veut que si f3(a)=a, alors a<f(a)<f²(a); on ne veut pas montrer qu'il existe un b tel que b<f(b)<f²(b).
Mais d'après le peu que j'ai lu dans les liens donnés, l'ordre n'est pas l'ordre habituel pour le théorème de Sarkovskii.
J'ai fait quelques boulettes
Dans le 1er cas tu as la 1ere inégalité vérifiée pour a
Dans le 2eme cas tu as la 1ere inégalité vérifiée pour b
Dans le 3eme cas tu as la 1ere inégalité vérifiée pour c
Dans le 4eme cas tu as la 2eme inégalité vérifiée pour a
Dans le 5eme cas tu as la 2eme inégalité vérifiée pour b
Dans le 6eme cas tu as la 2eme inégalité vérifiée pour c
Il faut aussi prouver que si a != f (a) c'est a dire a != b
alors a != c , et b != c mais c'est trivial.
Il faut aussi dire que f(b) = c
f^2 (b) = a
f^2 (c) = b
... et f(c) = a
Avec la seule hypothèse f^3 (a) = a on ne peut pas conclure que l'une des 2 inégalités est vraie pour a. En fait, il y a une chance sur 3 pour que cela soit vrai.
Lorsque f^3 (a) = a, alors on a automatiquement 3 valeurs a , b , c différentes avec f^3 (b) = b et f^3 (c) = c. Il y a exactement une de ces 3 valeurs qui vérifie l'une des 2 inégalités.
J'ai fait parallèlement le même raisonnement que gilllloux.
Si il existe un a telque f(f(f(a))) = a, alors il en existe au moins trois. Si le théorème de folky est vrai pour a, il doit aussi être vrai pour f(a) et f(f(a)). Ce qui me semble pas possible aux vues des inégalités que ça donne.
Si le théorème est bon, je pense comme gilllloux qu'il doit manquer quelque chose.
