Résolution d'un système

[invited6c39cef]

Bonjour !
est-ce que vous pouvez me dire si ce que j'ai fait est correct et comment continuer ?

Résoudre (S) =
x+2y+3z+mt=m-1
2x+y+mz+3t=1
3x+my+z+2t=0
mx+3y+2z+t=0 et m est le paramètre

(6+m)(x+y+z+t)=m L1 <-- L1+L2+L3+L4
2x+y+mz+3t=1
3x+my+z+2t=0
mx+3y+2z+t=0

Si m=0
x+y+z+t=0
2x+y+3t=1
3x+z+2t=0
3y+2z+t=0

x+y+z+t=0
- 3y -6z +3t=3 L2 <-- 3L2 - L1
-6y -4z -2t=0 L3 <-- 2L3 - L1
3y+2z+t=0

-2L4=L3 donc
x+y+z+t=0
- 3y -6z +3t=3
3y+2z+t=0

x+y+z+t=0
- 3y -6z +3t=3
4z-4t=-3 L3 <-- L3-L2

x+y+z+t=0
- 3y -6z +3t=3
z= (-3/4) +t

x= 5/4 - t
y= -1/2 -t
z= (-3/4) +t

S={( 5/4 - t ; -1/2 -t ; -3/4+t ; t) , t € R}

Si m différent de 0
(x+y+z+t)=m/(6+m)
2x+y+mz+3t=1
3x+my+z+2t=0
mx+3y+2z+t=0

(x+y+z+t)=m/(6+m)
-y + (m-2)z +t = 1 - (2m)/(m+6) L2 <-- L2 -2L1
(m-3)y -2z - t = -3m/(m+6) L3 <-- L3 - 3L1
(3-m)y +(2-m)z+(1-m)t = -m²/(m+6) L4 <-- L4 - mL1


et là je pensais continuer le pivot de Gauss pour simplifier mais mes lignes sont de plus en plus longues et difficiles à simplifier et j‘ai l‘impression de me perdre dans les détails... merci de votre aide.
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[shokin]

Salut,

as-tu déjà fait de l'algèbre linéaire (avec les matrices) ?

- on peut voir que les facteurs des inconnues forment une matrice symétrique.

Sinon, il est intéressant de voir que :

- les sommes des facteurs des inconnues sont toutes égales à (m+6), si tu additionnes les 4 équations...

Shokin

[invited6c39cef]

euh non je n'ai pas encore étudié les matrices... mais je vais essayer de creuser ta deuxième idée, merci.
en fait c'est pas déjà ce que j'ai fait pour le cas m=0 ? J'ai commencé à le réutiliser pour m différent de 0 ... je dois poursuivre les simplifications par Gauss ?

[shokin]

Tu peux également pivoter avec Gauss.

Il est également intéressant d'additionner les deux dernières équations car leurs termes respectifs de droite sont nuls.

Ou également d'additionner les deux premières équations seulement.

Shokin

[A voir en vidéo sur Futura]