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herman · 14/01/2007, 19h10

Bonsoir,

Voici une suite à laquelle je n'ai pas de réponse.

(1 + racine(1 + 1/2) ) ^n

Quelle est la limite d'une telle fonction en + l'infini ? (et donc divergente/convergente).

La seule piste, qui n'aboutie pas sous mon stylo c'est le passage à la forme exp(n*ln(...)).

Voilà merci d'avance si vous avez une idée.

Gwyddon · 14/01/2007, 19h15

Tu es sûr de ce que tu as noté ici ? Pour moi ça diverge, facilement démontrable avec exp(nln(..)), mais je pense que tu as fait une coquille dans la rédaction de la suite

herman · 14/01/2007, 19h58

Non non c'est bien celle-là mais même via exp (n ln (...) ) il y a gros problème car en faisant tendre n vers l'infini on obtient une décroissance d'un coté et une croissance de l'autre :/

Ksilver · 14/01/2007, 20h19

je comprend vraiment pas ton probleme alors !

tu as uns suite de la forme a^n, avec a>1 , donc elle diverge !

herman · 14/01/2007, 20h22

oui mais a décroit... il n'y a aucune loi qui dit que a décroit moins vite que l'ensemble ne croit...

Ksilver · 14/01/2007, 20h34

mais tu a ecrit (1 + racine(1 + 1/2) ) ^n

a=1+racine(1+1/2) me semble plutot constant...

n'est pour ca qu'on te demande si tu ne t'es pas trompé en tapant ^^

herman · 14/01/2007, 20h42

Arf je suis désolé lol j'ai mal écrit et quand j'ai vérifié quand vous me l'avez souligné j'ai cru lire la bonne chose <_<.

En effet il ne s'agit pas de la bonne suite

.

Voici la bonne :

(1 + racine(1 + 1/n) ) ^n

Encore désolé :/

Gwyddon · 14/01/2007, 20h52

La réponse reste la même, en se rappelant bien que les fonctions x-> exp(x), x-> ln(1+x) et x->sqrt(1+1/x) sont continues pour x>0 ...

herman · 14/01/2007, 20h59

Oui mais comment sait-t-on que l'intérieur de la racine est négligeable face à la puissance n ?

Gwyddon · 14/01/2007, 21h05

On le refait ensemble :

Tu as en fait $(1+ \sqrt{1+\frac{1}{n}})^n = \exp(n \ln (1+\sqrt{1+1/n})) = \exp( n v_n)$ avec $v_n = \ln(1+ \sqrt{1+\frac{1}{n}})$ .

La suite (1/n) converge vers zéro, donc ayant $x \rightarrow \sqrt{1+x}$ continue en zéro on a $\sqrt{1+\frac{1}{n}})$ converge vers $\sqrt{1} = 1$ .

Ayant $x \rightarrow \ln(1+x)$ continue en 1, on a (v_n) qui converge vers $\ln(2)$ .

Je te laisse conclure maintenant.

guguy · 14/01/2007, 21h07

Tu peux aussi utiliser une minoration toute
bête de ta suite

Gwyddon · 14/01/2007, 21h09

Effectivement et c'est bien plus élégant, bien joué guyguy

ericcc · 14/01/2007, 21h11

autre réponse : on a une formule du genre (1+a)^n avec a strictement supérieur à 1. Donc elle diverge.

Gwyddon · 14/01/2007, 21h18

Attention, a dépend de n ici...

Exemple avec la suite suivante :

$v_n = \left( 4+ \sin n \right)^n$

Cette suite accepte-t'elle une limite en l'infini ?

ericcc · 14/01/2007, 21h22

Citation:

Envoyé par Gwyddon

Attention, a dépend de n ici...

Exemple avec la suite suivante :

$v_n = \left( 4+ \sin n \right)^n$

Cette suite accepte-t'elle une limite en l'infini ?

Non car même si a dépend de n il est toujours supérieur à 1, à moins que je me trompe

Gwyddon · 14/01/2007, 21h36

En fait je pense que tu as raison, mais je doute tout d'un coup et c'est pourquoi j'ai suggéré cette suite.

herman · 14/01/2007, 21h39

Là aussi a dépend de n et a tend vers ln 2 (sans jamais l'atteindre dans R, elle ne l'atteind que dans R barre) mais pendant ce temps n tend vers l'infini...

On ne peut donc utiliser "ln 2" car pour ça il faudrait considérer "ln 2 ^ n" avec n = + l'infini.

Voilà précisément ou je suis bloqué

.

Gwyddon · 14/01/2007, 21h41

Pour ton problème herman tout a été réglé, donc relis bien les divers messages à ce propos.

Ce dont je discute avec ericcc est autre chose (car dans ce cas précis, la suite (sin(n) ) n'a pas de limite en l'infini)

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