Nature d'une suite assez compliquée

[herman]

Bonsoir,

Voici une suite à laquelle je n'ai pas de réponse.

(1 + racine(1 + 1/2) ) ^n

Quelle est la limite d'une telle fonction en + l'infini ? (et donc divergente/convergente).

La seule piste, qui n'aboutie pas sous mon stylo c'est le passage à la forme exp(n*ln(...)).

Voilà merci d'avance si vous avez une idée.
-----

[Gwyddon]

Tu es sûr de ce que tu as noté ici ? Pour moi ça diverge, facilement démontrable avec exp(nln(..)), mais je pense que tu as fait une coquille dans la rédaction de la suite

[herman]

Non non c'est bien celle-là mais même via exp (n ln (...) ) il y a gros problème car en faisant tendre n vers l'infini on obtient une décroissance d'un coté et une croissance de l'autre :/

[invite4ef352d8]

je comprend vraiment pas ton probleme alors !


tu as uns suite de la forme a^n, avec a>1 , donc elle diverge !

[A voir en vidéo sur Futura]

[herman]

oui mais a décroit... il n'y a aucune loi qui dit que a décroit moins vite que l'ensemble ne croit...

[invite4ef352d8]

mais tu a ecrit (1 + racine(1 + 1/2) ) ^n

a=1+racine(1+1/2) me semble plutot constant...

n'est pour ca qu'on te demande si tu ne t'es pas trompé en tapant ^^

[herman]

Arf je suis désolé lol j'ai mal écrit et quand j'ai vérifié quand vous me l'avez souligné j'ai cru lire la bonne chose <_<.

En effet il ne s'agit pas de la bonne suite .

Voici la bonne :


(1 + racine(1 + 1/n) ) ^n

Encore désolé :/

[Gwyddon]

La réponse reste la même, en se rappelant bien que les fonctions x-> exp(x), x-> ln(1+x) et x->sqrt(1+1/x) sont continues pour x>0 ...

[herman]

Oui mais comment sait-t-on que l'intérieur de la racine est négligeable face à la puissance n ?

[Gwyddon]

On le refait ensemble :

Tu as en fait avec .

La suite (1/n) converge vers zéro, donc ayant continue en zéro on a converge vers .

Ayant continue en 1, on a (v_n) qui converge vers .

Je te laisse conclure maintenant.

[invite587990a2]

Tu peux aussi utiliser une minoration toute
bête de ta suite

[Gwyddon]

Effectivement et c'est bien plus élégant, bien joué guyguy

[ericcc]

autre réponse : on a une formule du genre (1+a)^n avec a strictement supérieur à 1. Donc elle diverge.

[Gwyddon]

Attention, a dépend de n ici...

Exemple avec la suite suivante :



Cette suite accepte-t'elle une limite en l'infini ?

[ericcc]

Attention, a dépend de n ici...

Exemple avec la suite suivante :



Cette suite accepte-t'elle une limite en l'infini ?

Non car même si a dépend de n il est toujours supérieur à 1, à moins que je me trompe

[Gwyddon]

En fait je pense que tu as raison, mais je doute tout d'un coup et c'est pourquoi j'ai suggéré cette suite.

[herman]

Là aussi a dépend de n et a tend vers ln 2 (sans jamais l'atteindre dans R, elle ne l'atteind que dans R barre) mais pendant ce temps n tend vers l'infini...

On ne peut donc utiliser "ln 2" car pour ça il faudrait considérer "ln 2 ^ n" avec n = + l'infini.

Voilà précisément ou je suis bloqué .

[Gwyddon]

Pour ton problème herman tout a été réglé, donc relis bien les divers messages à ce propos.

Ce dont je discute avec ericcc est autre chose (car dans ce cas précis, la suite (sin(n) ) n'a pas de limite en l'infini)

[ericcc]

on a bien si a>b>1, alors aⁿ>bⁿ, non ?

Dans ce cas, puisque rac(1+1/n)>1, 1+rac(1+1/n)>2 et la suite est plus grande que 2ⁿ

[invite4ef352d8]

euh je comprend plus ou est le probleme la :S

dans les deux exemple on a Un = (Vn)^n

avec Vn>= 2

donc Un>= 2^n qui diverge !

[herman]

Oui oui j'ai bien lu mais tout ça j'y ai pensé mais pour moi c'est incorrect .

le "ln 2" on n'y arrive jamais . Donc je ne vois pas de quelle manière on peut rigoureusement accepter ça.

[invite22a185a6]

Bonsoir,
le fait que sin(n) n'est pas de limite en l'infini ne joue pas ici je pense par simple minoration:
4+sin(n)>= 3
et comme n->a^n croit pour a>1 on a bien:
(4+sin(n))^n >= 3^n
d'ou la divergence,
aurevoir

[Gwyddon]

Euh... oui je suis d'accord avec vous les amis, je ne sais pas pourquoi je doute en fait..

Ah si je sais : cette suite prouve que les calculettes ne savent pas tout
(c'est en voulant, je ne sais pas trop pourquoi, vérifier le résultat sur cette suite et en voyant écrit "undef" que le doute s'est installé en moi)

[ericcc]

euh je comprend plus ou est le probleme la :S

dans les deux exemple on a Un = (Vn)^n

avec Vn>= 2

donc Un>= 2^n qui diverge !

Voui

[Gwyddon]

Oui oui j'ai bien lu mais tout ça j'y ai pensé mais pour moi c'est incorrect .

le "ln 2" on n'y arrive jamais . Donc je ne vois pas de quelle manière on peut rigoureusement accepter ça.

Relis encore attentivement les messages, et relis ton cours sur la limite d'un produit de suite...

[invite35452583]

autre réponse : on a une formule du genre (1+a)^n avec a strictement supérieur à 1. Donc elle diverge.

Bonjour,

on a bien a>1 pour tout n.
Ce qu'il faut c'est an>1+epsilon fixe sinon c'est indéterminé.
Cordialement

[herman]

Voilà en effet c'est ça homotopie, le petit + qu'il manquait .

[Gwyddon]

Sauf que ce que dis homotopie ne correspond pas à ce qu'affirme ericcc

[herman]

Oui mais en l'occurence elle donne une réponse complète (du moins il me semble).

[Gwyddon]

Honnêtement, as-tu lu les divers messages d'aide que l'on t'a écrit ? As-tu pris la peine de refaire les calculs, de relire ton cours ? Tu nous affirme que ce que nous te disons est incorrect, mais tu n'es pas capable de le prouver

La remarque d'homotopie est juste, sauf que ce que disais ericcc aussi était juste et ne coïncide pas avec le contre-exemple d'homotopie..