Loi de groupe

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aurais besoin d'une petite aide :

J'ai un ensemble et une loi

Je dois dire dans ce cas si on définit une loi de groupe ou non.

J'ai donc démontrer que la loi en question était commutative (même si c'était pas nécessaire de la démontrer), associative, et qu'elle admettait un élément symétrique et un élément neutre.

Est-ce suffisant pour dire que c'est une loi de groupe ? (Parce que sinon je ne vois pas vraiment pourquoi on nous indique un ensemble)

Sinon j'ai essayé de déterminer si l'enemble G était un groupe ou non, mais je n'y arrive pas :

J'ai fait un encadrement du nominateur et du dénominateur, mais si j'utilise c'est deux encadrement en utilisant des quotients j'obtient un quotient sur zéro, donc pas vraiment correcte.

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci d'avance
Phys2
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[invite9c9b9968]

Avant toute chose, il faut que tu prouves que la loi de composition est bien une loi de composition interne : si x est dans G, y est dans G, il faut vérifier que x*y est encore dans G.

Ensuite, associativité, élement neutre c'est bon. Qu'appelles-tu élément symétrique par contre ? Il faut que tu démontres que tout élément admet un inverse par la loi * pour finir la démo (et montrer, comme je te l'ai dit, qu'elle est bien interne)

[Seirios]

Oui donc la question est équivalente à "dire si G est un groupe".

L'élément de symétrie que je cite est l'inverse, donc il ne me reste plus qu'à démontrer qeu c'est une loi interne.

Mais j'ai rencontré le problème que j'ai exposé plus haut : j'ai essayé de faire un encadrement de l'expression de la loi pour montrer que c'est une loi de composition interne, mais j'obtient un quotient sur zéro...

[invite9c9b9968]

Attention, G n'est pas un groupe en soi ! Il faut toujours préciser pour quelle loi, donc on dit plutôt (G,*) est un groupe

Sinon pour le caractère interne, c'est effectivement plus difficile.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97a92052]

Salut,

Tu dois montrer que la loi est interne, mais aussi que l'inverse est dans ]-1, 1[ !

Pour montrer que la loi est interne, fixe y dans ]-1, 1[, et montre que pour tout x, x*y est dans ]-1, 1[ (tu peux t'amuser à dériver par exemple)

[invite22a185a6]

Bonjour,
généralement on fait du "deux en un" (!) en montrant que xy^(-1) est dans G, ensuite gwyddon tu as raison de dire que G n'est pas un grpe mais que (G,*) en est un mais honnêtement apres 2 cours de théorie des groupes (même pas) plus personne le fait (prof compris ,surtout le prof en fait XD),
aurevoir

[invite9c9b9968]

C'est une erreur si ton prof fait ça, et même une erreur grave. Et je ne conseille à personne de l'oublier.

[invite22a185a6]

Bonjour,
promis mon prochain cours je lève la main et je le fais remarquer (ca va faire bien en maitrise),
aurevoir

[invite9c9b9968]

Ce que je veux dire c'est que ce n'est certainement pas l'attitude à adopter face à un "néophyte", et que même dans certains cas l'oubli peut nous faire faire des erreurs (lorsque l'on manipule des lois exotiques sur des ensembles à lois usuelles)

[invite22a185a6]

Bonjour,
je suis d'acord avec toi (je me suis un poil emporté) mais c'est un problème général des maths quand tu parle de R ordonné tu devrais parler de (R,<=) ou en topologie etc... D'ou la nécessité de distinguer ce qui est usuel de ce qui ne l'est pas.
Aurevoir

[invite9c9b9968]

Ok je comprend tout à fait ton point de vue

Il faut distinguer comment l'on présente les choses selon que l'on s'adresse à des néophytes et à des gens qui connaissent déjà un peu le domaine, et ton exemple de IR est très révélateur et très juste

[invite35452583]

Bonjour,
pour montrer que la loi est interne sur G,
il suffit de le prendre par ce bout : il faut montrer que (1+xy)²-(x+y)²>0
En simplifiant l'expression on aboutit à :
(x²-1)(y²-1) et il est facile de conclure puisque x et y sont dans G.

Sinon et ça permet de tout montrer d'un coup :
cette loi est la loi induite par la bijection argth : R->]-1;1[.

[invite35452583]

La 2ème technique est non utilisable par un néophyte mais permet de comprendre comment cette loi a été trouvée.

[invite29e48b79]

Euh c'est un exo assez connu je crois
Y'a une technique ultime pour simplifier qui consiste à dire que th(x*y) = th(x)+th(y)
(ou peut-etre avec Argth en fait)

edit : bon on l'a dit avant en fait :d