Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 11 sur 11

Critère de convergence loi binomiale -> loi normale



  1. #1
    Tofu

    Critère de convergence loi binomiale -> loi normale


    ------

    Bonjour,
    sauriez vous quel critère utiliser pour savoir si l'approximation de la loi binomiale par la loi normale est bonne ? Je cherche en fait à calculer un nombre minimum de tirages indépendants, connaissants la probabilité de réussite p, pour pouvoir utiliser la loi normale.
    Merci pour toute réponse.

    -----
    desole pour le manque de ponctuation

  2. Publicité
  3. #2
    zinia

    Re : Critère de convergence loi binomiale -> loi normale

    Bonsoir,
    On note n le nombre d'expériences binaires, p la proba de l'évènement élémentaire le moins probable et 1-p celle de l'évènement complémentaire.
    Il existe une règle empirique pas très rigoureuse qui est la suivante :
    Dès que n dépasse 30, on remplace la loi binomiale par
    - une loi de poisson si np<5
    -une loi normale si np >5
    Bien entendu, ces seuils de 5 et de 30 ne garantissent pas une précision très forte.
    En prenant 7 et 50, on aura de meilleures approximations.
    ce qu'il faut noter , c'est que si la valeur de la proba autour de la moyenne est assez bonne, elle devient de plus en plus absurde au fur et a mesure que l'on s'en éloigne, surtout si on raisonne en valeur relative.
    Par exemple avec n=30 et np =5, les erreurs sont les suivantes
    pour k=5 exact = 0,192 approchée =0,195
    pour k=0 exact = 0,004 approchée =0,010
    pour k=10 exact = 0,013 approchée =0,010
    pour k=20 exact = 1,3 10^(-9) approchée =4 10^(-13)

    on voit que c'est pas mal pour k=5 (valeur la plus probable) mais que pour 0 et 10 (à 2,5 écart-type de distance) on a des erreurs importantes et que pour k =20, la valeur approchée est dix mille fois plus faible..
    Il est vrai que les erreurs en valeurs absolues sont insignifiantes.

  4. #3
    Tofu

    Re : Critère de convergence loi binomiale -> loi normale

    Salut Zinia,
    merci de m'avoir répondu. Finalement on dirait qu'on a une assez bonne approximation pour un petit nombre d'essais. Y a-t'il d'autres raisons d'augmenter le nombre de tirages ?
    desole pour le manque de ponctuation

  5. #4
    invite986312212
    Invité

    Re : Critère de convergence loi binomiale -> loi normale

    tout dépend de ce que tu veux faire. Les théorèmes de convergence concernent en général, soit la densité autour de la moyenne, soit des probabilités d'intervalles pas trop grands autour de la moyenne. Dans ces cas tu as des convergences en .
    Dernière modification par invite986312212 ; 07/06/2006 à 14h10.

  6. #5
    zinia

    Re : Critère de convergence loi binomiale -> loi normale

    Bonjour,
    Je ne comprends pas ta question.
    En général, si on augmente le tirage, c'est pour estimer p et l'erreur se divise par racine (n)
    On n'est pas obligé de passer par une loi normale pour faire les calculs, la loi binomiale marche bien.
    Sur excel par exemple, on l'obtient sans problème pour des valeurs de n jusqu'à 1000

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    invite986312212
    Invité

    Re : Critère de convergence loi binomiale -> loi normale

    c'est légitime d'utiliser une approximation gaussienne, parce qu'il n'y a pas d'expression simple pour les intervalles de confiance dans le loi binomiale, donc typiquement, tu testes sujets, tu estimes par la proportion observée et la variance de cet et ensuite un intervalle de confiance au seuil par est le quantile de la loi normale standard.

  9. Publicité
  10. #7
    zinia

    Re : Critère de convergence loi binomiale -> loi normale

    Citation Envoyé par ambrosio
    c'est légitime d'utiliser une approximation gaussienne, parce qu'il n'y a pas d'expression simple pour les intervalles de confiance dans le loi binomiale, donc typiquement, tu testes sujets, tu estimes par la proportion observée et la variance de cet et ensuite un intervalle de confiance au seuil par est le quantile de la loi normale standard.
    Je suis entièrement d'accord avec toi sauf que ce n'est pas comme cela que Tofu pose le problème. Il s'intéresse à la qualité de l'approximation mais, semble-t-il, pas du tout à celle d'un estimateur.

  11. #8
    Tofu

    Re : Critère de convergence loi binomiale -> loi normale

    On n'est pas obligé de passer par une loi normale pour faire les calculs, la loi binomiale marche bien.
    si on veut tracer le graph de la densité de probabilité en utilisant la loi binomiale et pour n=1000 l'ordinateur va mettre un temps fou non ? ou alors excell a un code adhoc pour le calcul des factorielles...
    Il s'intéresse à la qualité de l'approximation mais, semble-t-il, pas du tout à celle d'un estimateur.
    maintenant si, merci pour les conseils.
    desole pour le manque de ponctuation

  12. #9
    invite986312212
    Invité

    Re : Critère de convergence loi binomiale -> loi normale

    Citation Envoyé par zinia
    Je suis entièrement d'accord avec toi sauf que ce n'est pas comme cela que Tofu pose le problème. Il s'intéresse à la qualité de l'approximation mais, semble-t-il, pas du tout à celle d'un estimateur.
    j'avais pas capté. Alors il faut savoir que la convergence vers la densité gaussienne n'est pas uniforme. En gros, ça converge bien dans le centre de la distribution, moins bien pour les queues. Pour avoir des détails, il suffit de consulter un cours de probas, par exemple Chow & Teicher, ou pour un traitement très détaillé, Shorak & Wellner.

  13. #10
    Tofu

    Re : Critère de convergence loi binomiale -> loi normale

    Alors pour avoir une très bonne estimation il faut mettre au minimum combien d'écarts-type entre l'espérance et la borne la plus proche ? j'avais lu 6.
    desole pour le manque de ponctuation

  14. #11
    invite986312212
    Invité

    Re : Critère de convergence loi binomiale -> loi normale

    telle que tu la poses, on ne peut pas répondre à cette question. Vraiment, je te conseille de lire un cours de probas: il y a plusieurs modes de convergence, plusieurs versions du théorème central limite, des inégalités de grandes déviations, des lois du logaritme itéré, etc. et de plus, dans la plupart des cas, tu vas trouver des bornes pour la vitesse de convergence, mais il y aura des constantes indéterminées, et donc donner une valeur de n telle qu'on ait une "bonne approximation" c'est difficile. Ou alors, il y a l'approche par simulation.

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. Probabilité : loi Binomiale par loi Normale
    Par aureliestee dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 05/10/2015, 22h03
  2. Loi binomiale
    Par Alpha15 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 5
    Dernier message: 01/04/2008, 22h27
  3. Appriximation de la loi Binomiale...
    Par thibaut123 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 0
    Dernier message: 28/04/2007, 15h38
  4. Probabilité : Loi binomiale ?
    Par pasmieux dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 0
    Dernier message: 26/04/2006, 16h29
  5. Loi binomiale
    Par adrislas dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 7
    Dernier message: 10/04/2005, 18h29