exponentielle et équation fonctionelle

[dajety]

Bonjour !
Je suis a la recherhce d'un contre exemple pour une propriété bien connue...
On sait que si f est continue en zéro, alors f est solution de l'équation fonctionelle f(x+y)=f(x)f(y) (1) si et seulement si f est une fonction exponentielle ( ou la fonction nulle )
Maintenant est il possible une fonction qui vérifie (1) mais qui ne soit pas une fonction du type exponentielle??
On sait qu'elle ne sera pas continue en zéro.. j'imagine même qu'elle ne sera continue nulle part...
J'ai essayé de voir si on prenait une fonction exponentielle en base a pour les éléments de Q et une autre exponentielle en base a' pour les éléments de R\Q si cela marchait mais je ne crois pas que cela marche..
Est ce que quelqu'un aurait un contre exemple???
Merci d'avance...

[jahlucine]

grosso modo ta fonction sera une exponentielle ou nulle sur tout sous ensemble de R stable par addition.

effectivement la partition rationnel irrationnel etant stable par addition ca marche.

sur Q f(x)=0 sur R/Q f(x)=exp(x) par exemple

[Coincoin]

Salut,
Dans ce cas, on peut même prendre f(x)=1 sur R\Q...
...mais de toute façon, ça ne marche pas : la somme de deux irrationnels peut être rationnelle (par exemple et ...)

[jahlucine]

au temps pour moi j'ai parle un peu vite

[Coincoin]

J'ai failli faire la même bourde, mais j'ai trouvé le contre-exemple de ce contre-exemple suffisamment tôt pour ne pas le poster !

[jahlucine]

ce dont on est surs c'est que :

f(0) = 1 sinon f nulle partout
et que par construction f est nulle ou exp sur les rationnels

et que f continue nulle part ou partout

[rvz]

On sait que si f est continue en zéro, alors f est solution de l'équation fonctionelle f(x+y)=f(x)f(y) (1) si et seulement si f est une fonction exponentielle ( ou la fonction nulle )

Salut,

Cela implique que f(0) = 1 sinon ta fonction est trivialement nulle.
Par ailleurs, là où elle est positive, ensemble que l'on peut appeler P, tu peux faire ça :
Si g = ln(f), alors g est simplement additive :
Pour tout x et y de P, g(x+y) = g(x) +g(y).
Au passage, ça démontre que P est forcément un sous groupe de R.
Donc là tu te ramènes à un cas qu'on a déjà évoqué avec homothopie, cf les grands classiques.
Si N est l'ensemble où f est négative, tu as la propriété que N+P = N et N+N = P.
Après, tu peux toujours regarder l'ensemble des zéros Z. Alors Z+N et Z+P sont inclus dans Z.

Voilà pour un début d'idée.

__
rvz

[rvz]

Argh, en fait, f est forcément positive puisque pour tout x, f(x) = f(2x/2) = f(x/2)^2.

Donc reste encore l'ensemble des zéros à traiter.
__
rvz

[edpiste]

Si f s'annule en un point, f s'annule partout, car si f(x0)=0,

f(x)= f(x-x0+x0)=f(x-x0)f(x0)=0

[homotopie]

Argh, en fait, f est forcément positive puisque pour tout x, f(x) = f(2x/2) = f(x/2)^2.

Donc reste encore l'ensemble des zéros à traiter.
__
rvz

Bonjour,
Les zéros sont égaux à R tout entier ou est vide car
Si f(x)=0 pour un réel x quelconque, soit y réel on a f(y)=f(x+(y-x))=f(x)f(y-x)=0.
On en arrive donc à si f vérifie la proprité f(x+y)=f(x)f(y) soit
1) f est la fonction nulle
2) f est strictement positive, g=ln(f) est bien définie et additive (cf post de rvz)
Et dans le 2ème cas
a) soit f est une exponentielle et toutes les propriétés de régularité qui s'ensuivent
b) soit f est allergique à toute forme de régularité analytique classique (continuité, monotonie,..., mesurabilité...).

Cordialement

[dajety]

je suis bien d'accord avec vous... mais ce qui m'interesse c'est le cas alergique ( je connaissais pas cette expréssion pour moi c'était le cas pathologique..) est il réellement possible et envisagable???
Et si oui est il possible d'expliciter une telle fonction??
Pour les grands classique javais regarder le post et je n'ai vu qu'une proposition pour les fonctions additives.. mais ce n'est pas exactement le cas ici non ???
Au fait
Merci d'y avoir réfléchi ! !

[edpiste]

Pour terminer, une référence (que je n'ai pas lue mais qui en dit long semble-t-il) :

MR1748782 (2001h:26001)
Kharazishvili, A. B.(GE-TBIL)
Strange functions in real analysis. (English summary)
Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 229. Marcel Dekker, Inc., New York, 2000. viii+29

Extrait du résumé mathscinet :

Hamel basis and Cauchy functional equation. A nontrivial additive function is a solution $f$ of the Cauchy functional equation $f(x)+f(y)=f(x+y)$ which is not of the form $f(x)=a·x$. Such functions can be constructed from Hamel bases of $\bold R$

Donc, il existe un contre-exemple à la question de départ, semble-t-il.

[edpiste]

Le passage du livre est consultable sur google books en tapant par exemple

nontrivial additive cauchy functional equation

[edpiste]

Ca va, la preuve est plutôt simple. Considérons R comme un Q-ev et soit (ei) une base, ie tout nombre réel x peut s'ecrire comme une combinaison linéaire (finie) des ei à coef rationnels :

x= somme qi(x) ei

avec qi(x) rationnel

On fixe un i0 et on pose g(x)= qi0(x).

Alors :

- g est additive
- g est à valeurs dans Q
- g(0)=0 et g(ei0)=1

en particulier g n'est pas continue (a fortiori pas linéaire) et donc f=exp(g) est une solution non exponentielle de l'equation de départ.

[homotopie]

On en arrive donc à si f vérifie la proprité f(x+y)=f(x)f(y) soit
1) f est la fonction nulle
2) f est strictement positive, g=ln(f) est bien définie et additive (cf post de rvz)
Et dans le 2ème cas
a) soit f est une exponentielle et toutes les propriétés de régularité qui s'ensuivent
b) soit f est allergique à toute forme de régularité analytique classique (continuité, monotonie,..., mesurabilité...).

Inversement à partir d'une fonction additive en prenant l'exponentielle ona une fonction vérifiant la propriété désirée (et là cf contre-exemple)