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exponentielle et équation fonctionelle




  1. #1
    dajety

    Question exponentielle et équation fonctionelle

    Bonjour !
    Je suis a la recherhce d'un contre exemple pour une propriété bien connue...
    On sait que si f est continue en zéro, alors f est solution de l'équation fonctionelle f(x+y)=f(x)f(y) (1) si et seulement si f est une fonction exponentielle ( ou la fonction nulle )
    Maintenant est il possible une fonction qui vérifie (1) mais qui ne soit pas une fonction du type exponentielle??
    On sait qu'elle ne sera pas continue en zéro.. j'imagine même qu'elle ne sera continue nulle part...
    J'ai essayé de voir si on prenait une fonction exponentielle en base a pour les éléments de Q et une autre exponentielle en base a' pour les éléments de R\Q si cela marchait mais je ne crois pas que cela marche..
    Est ce que quelqu'un aurait un contre exemple???
    Merci d'avance...

    -----


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  3. #2
    jahlucine

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    grosso modo ta fonction sera une exponentielle ou nulle sur tout sous ensemble de R stable par addition.

    effectivement la partition rationnel irrationnel etant stable par addition ca marche.

    sur Q f(x)=0 sur R/Q f(x)=exp(x) par exemple

  4. #3
    Coincoin

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    Salut,
    Dans ce cas, on peut même prendre f(x)=1 sur R\Q...
    ...mais de toute façon, ça ne marche pas : la somme de deux irrationnels peut être rationnelle (par exemple et ...)
    Encore une victoire de Canard !


  5. #4
    jahlucine

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    au temps pour moi j'ai parle un peu vite

  6. #5
    Coincoin

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    J'ai failli faire la même bourde, mais j'ai trouvé le contre-exemple de ce contre-exemple suffisamment tôt pour ne pas le poster !
    Encore une victoire de Canard !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    jahlucine

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    ce dont on est surs c'est que :

    f(0) = 1 sinon f nulle partout
    et que par construction f est nulle ou exp sur les rationnels

    et que f continue nulle part ou partout

  9. #7
    rvz

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    Citation Envoyé par dajety Voir le message
    On sait que si f est continue en zéro, alors f est solution de l'équation fonctionelle f(x+y)=f(x)f(y) (1) si et seulement si f est une fonction exponentielle ( ou la fonction nulle )
    Salut,

    Cela implique que f(0) = 1 sinon ta fonction est trivialement nulle.
    Par ailleurs, là où elle est positive, ensemble que l'on peut appeler P, tu peux faire ça :
    Si g = ln(f), alors g est simplement additive :
    Pour tout x et y de P, g(x+y) = g(x) +g(y).
    Au passage, ça démontre que P est forcément un sous groupe de R.
    Donc là tu te ramènes à un cas qu'on a déjà évoqué avec homothopie, cf les grands classiques.
    Si N est l'ensemble où f est négative, tu as la propriété que N+P = N et N+N = P.
    Après, tu peux toujours regarder l'ensemble des zéros Z. Alors Z+N et Z+P sont inclus dans Z.

    Voilà pour un début d'idée.

    __
    rvz

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  11. #8
    rvz

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    Argh, en fait, f est forcément positive puisque pour tout x, f(x) = f(2x/2) = f(x/2)^2.

    Donc reste encore l'ensemble des zéros à traiter.
    __
    rvz

  12. #9
    edpiste

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    Si f s'annule en un point, f s'annule partout, car si f(x0)=0,

    f(x)= f(x-x0+x0)=f(x-x0)f(x0)=0

  13. #10
    homotopie

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    Argh, en fait, f est forcément positive puisque pour tout x, f(x) = f(2x/2) = f(x/2)^2.

    Donc reste encore l'ensemble des zéros à traiter.
    __
    rvz
    Bonjour,
    Les zéros sont égaux à R tout entier ou est vide car
    Si f(x)=0 pour un réel x quelconque, soit y réel on a f(y)=f(x+(y-x))=f(x)f(y-x)=0.
    On en arrive donc à si f vérifie la proprité f(x+y)=f(x)f(y) soit
    1) f est la fonction nulle
    2) f est strictement positive, g=ln(f) est bien définie et additive (cf post de rvz)
    Et dans le 2ème cas
    a) soit f est une exponentielle et toutes les propriétés de régularité qui s'ensuivent
    b) soit f est allergique à toute forme de régularité analytique classique (continuité, monotonie,..., mesurabilité...).

    Cordialement

  14. #11
    dajety

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    je suis bien d'accord avec vous... mais ce qui m'interesse c'est le cas alergique ( je connaissais pas cette expréssion pour moi c'était le cas pathologique..) est il réellement possible et envisagable???
    Et si oui est il possible d'expliciter une telle fonction??
    Pour les grands classique javais regarder le post et je n'ai vu qu'une proposition pour les fonctions additives.. mais ce n'est pas exactement le cas ici non ???
    Au fait
    Merci d'y avoir réfléchi ! !

  15. #12
    edpiste

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    Pour terminer, une référence (que je n'ai pas lue mais qui en dit long semble-t-il) :

    MR1748782 (2001h:26001)
    Kharazishvili, A. B.(GE-TBIL)
    Strange functions in real analysis. (English summary)
    Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 229. Marcel Dekker, Inc., New York, 2000. viii+29

    Extrait du résumé mathscinet :

    Hamel basis and Cauchy functional equation. A nontrivial additive function is a solution $f$ of the Cauchy functional equation $f(x)+f(y)=f(x+y)$ which is not of the form $f(x)=a·x$. Such functions can be constructed from Hamel bases of $\bold R$

    Donc, il existe un contre-exemple à la question de départ, semble-t-il.

  16. #13
    edpiste

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    Le passage du livre est consultable sur google books en tapant par exemple

    nontrivial additive cauchy functional equation

  17. #14
    edpiste

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    Ca va, la preuve est plutôt simple. Considérons R comme un Q-ev et soit (ei) une base, ie tout nombre réel x peut s'ecrire comme une combinaison linéaire (finie) des ei à coef rationnels :

    x= somme qi(x) ei

    avec qi(x) rationnel

    On fixe un i0 et on pose g(x)= qi0(x).

    Alors :

    - g est additive
    - g est à valeurs dans Q
    - g(0)=0 et g(ei0)=1

    en particulier g n'est pas continue (a fortiori pas linéaire) et donc f=exp(g) est une solution non exponentielle de l'equation de départ.

  18. #15
    homotopie

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    On en arrive donc à si f vérifie la proprité f(x+y)=f(x)f(y) soit
    1) f est la fonction nulle
    2) f est strictement positive, g=ln(f) est bien définie et additive (cf post de rvz)
    Et dans le 2ème cas
    a) soit f est une exponentielle et toutes les propriétés de régularité qui s'ensuivent
    b) soit f est allergique à toute forme de régularité analytique classique (continuité, monotonie,..., mesurabilité...).
    Inversement à partir d'une fonction additive en prenant l'exponentielle ona une fonction vérifiant la propriété désirée (et là cf contre-exemple)

  19. #16
    prgasp77

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    Citation Envoyé par edpiste Voir le message
    Considérons R comme un Q-ev et soit (ei) une base, ie tout nombre réel x peut s'ecrire comme une combinaison linéaire (finie) des ei à coef rationnels
    J'ai du mal à suivre là. Si on considère R comme un Q-ev, sa base n'est-elle pas infinie indénombrable ? Si non (ou sinon), pouvez-vous me donner un exemple de base ?

    Merci.
    --Yankel Scialom

  20. #17
    feldid

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    il n'y a pas de contradiction: par définition d'une base d''espace vectoriel, tout élément s'écrit comme combinaison linéaire FINIE. Sinon il faut une topologie pour considérer des sommes infinies et on parle de base hilbertienne (je vais vite...)
    "Mathematics is the part of physics where experiments are cheap." VI Arnol'd

  21. #18
    Gwyddon

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    Un exemple classique : l'espace des polynômes, de base infinie dénombrable explicite, et dont chaque polynôme s'écrit bien comme combinaison linéaire finie des polynômes de la base
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  22. #19
    feldid

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    dans ce dernier cas c'est par définition même des polynômes (combinaison linéaire finie de monômes)
    l'exemple de R comme Q-ev est bien sûr bcp plus complexe, je ne connais pas de base de Hamel explicite au fait....
    "Mathematics is the part of physics where experiments are cheap." VI Arnol'd

  23. #20
    Gwyddon

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    Salut,

    Qu'appelles-tu base de Hamel ?
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  24. #21
    feldid

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Salut,

    Qu'appelles-tu base de Hamel ?
    une base de R comme Q-ev
    "Mathematics is the part of physics where experiments are cheap." VI Arnol'd

  25. #22
    Gwyddon

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    Ahma ok merci pour l'appellation. Il me semble que l'on ne peut pas exhiber une base de R comme Q-ev de façon explicite non ? D'autant plus que l'existence de cette base fait appel à l'axiome du choix
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  26. #23
    feldid

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    oui c'est vrai....et leur existence implique l'existence de parties de R non mesurables au sens de Lebesgue
    c'est le genre d'objets mathématiques qui me donnent des fièvres brouweriennes
    on n'est pas loin de l'abstract non-sense
    "Mathematics is the part of physics where experiments are cheap." VI Arnol'd

  27. #24
    Gwyddon

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    >Fatal error on your brain caused by a Banach-Tarski exception
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  28. #25
    feldid

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    de quoi attraper 2 grosses têtes....

    d'un autre côté ça pose des questions intéressantes sur les rapports entre axiomatique et mathématiques
    mais c'est un peu byzantin quand même...
    "Mathematics is the part of physics where experiments are cheap." VI Arnol'd

  29. #26
    Gwyddon

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    Ceci dit, pour en revenir à la démo de edpiste, il n'y aurait pas moyen de s'en sortir sans untiliser une base de R, ie sans faire appel à l'axime du choix ?
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  30. #27
    feldid

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    d'après le bouquin cité (strange functions etc....) il semblerait que Hamel ait introduit ces bases précisément pour résoudre ces questions (mais j'ai lu en diagonale)
    "Mathematics is the part of physics where experiments are cheap." VI Arnol'd

  31. #28
    Gwyddon

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    Ahaha

    Ok donc aucun moyen de s'en sortir sans ça. Cool, j'ai appris un truc ce soir
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  32. #29
    dajety

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    tu es pas le seul ! ! Vous etes super fort les gars! ! !
    Chapeau bas on apprend tout plein de choses ici...et puis avec des questions a priori simple en plus ! les maths c'est rigolo ! !

  33. #30
    edpiste

    Re : exponentielle et équation fonctionelle

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Ceci dit, pour en revenir à la démo de edpiste, il n'y aurait pas moyen de s'en sortir sans untiliser une base de R, ie sans faire appel à l'axime du choix ?
    Je n'ai fait que retranscrire la démo du bouquin cité.
    Si on travaille juste avec ZF, le problème initial risque d'être indécidable (comme c'est le cas pour le problème de l'existence d'une partie mesurable)...

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