bonjour je bloque sur une question d un exercice
Soit P(X)=X^3 + pX^2 + qX + r ou les zeros sont a,b,c
1) calculer a^2 + b^2 + c^2 en fonction de p q r
2)calculer (bc)^2 + (ca)^2 + (ab)^2 en fonction de p q r
3)determiner p , q , r pour que les zeros de P soit a^2 , b^2 et c^2
en deduire la liste des polynomes P et montrer qu il verifie P(X^2)=-P(X)P(-X)
4)parmis les polynomes P on note F et G les 2 polynomes qui ne sont pas à coefficient complexe. Calculer le produit FG et trouver les zeros de chacun de ces polynomes
voila mes reponses:
1)a+b+c)²=p²=a²+b²+c²+2(ab+ac+ bc) d'ou
a²+b²+c²=p²-2q.
2)Soit -(a+b+c)=p
(ab+ac+bc)=q
-abc=r
(ab+bc+ca)²=q²=((ab+bc)+ca)²=( ab)²+(bc)²+2ab²c+(ca)²+2ca²b+2 c²ab=(ab)²+(ca)²+(bc)²+2abc(a+ b+c)=(ab)²+(ca)²+(bc)²+2pr
3)si les zeros de P sont a^2 , b^2 et c^2 alors
P(X) = (X-a²)(X-b²)(X-c²) = X3 - (a²+b²+c²)X² + [(ab)²+(bc)²+(ca)²]X - (abc)²
et l on identifie à l'aide des résultats précédents en se servant du fait que a b c prenne comme valeur soit 1 ou 0 (car si a^2 , b^2 et c^2
sont zeros alors forcement a^2=a...)
et on verifie P(X)P(-X)=-X6+(p²-2q)X4-(q²-2pr)X²+r²=P(X^2)
seulement je dois avoir une erreur a un endrois je ne trouve pas deux polynomes a coefficient complexe ?Comment puis je trouver ces deux polynomes et faire par la suite la question 4
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