Suite complexe et module

[Gpadide]

Bonjour, je cherche a trouver la limite de la suite complexe suivante :

où le premier terme est un complexe non nul...

Si la suite est réelle l'etude est immédiate, sinon...
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[invitec053041c]

Peut-être faudrait-il passer en partie réelle et imaginaire...

[Gpadide]

Oui j'ai essayé ca, j'ai essayé aussi exponentielle, mais c'est plus coriace que ce que je pensais !

[invitec053041c]

Je pense que tu es condamnée à étudier parties réelles et imaginaires en réfléchissant un petit peu...courage

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gpadide]

Je vois un truc interessant : la suite est géométrique. Mais ce n'est pas suffisant : serais-je obligé de passer par l'etude bourrin avec u_n+1=f(u_n) ?

[Gpadide]

Je pense que tu es condamnée à étudier parties réelles et imaginaires en réfléchissant un petit peu...courage

En fait apres l'avoir refait je trouve pas ca pour y_n:


y_n se trouve facilement, par contre x_n...meme l'etude de fonction ne marche pas apres réflexion !

[invitec053041c]

et jouent un rôle symétrique, donc si tu trouves une simplification pour l'une, elle fonctionnera pour l'autre.
Parcontre le n'est pas très commode: comment montrer que ta suite complexe est contractante autrement qu'en passant par partie réelle et imaginaire?

[invite9cf21bce]

Salut !

|u| est décroissante, x est croissante.

Mais tout ceci ne te donnera pas la limite, seulement la convergence...

Pour la limite je te conseille de noter a l'argument de u₀ situé dans . De trouver l'expression générale de l'argument de u_n. Puis de trouver une récurrence plus sympathique (il y a peut-être une autre méthode mais je viens de trouver le résultat avec celle-ci).

[Gpadide]

Salut !

|u| est décroissante, x est croissante.

Mais tout ceci ne te donnera pas la limite, seulement la convergence...

Pour la limite je te conseille de noter a l'argument de u₀ situé dans . De trouver l'expression générale de l'argument de u_n. Puis de trouver une récurrence plus sympathique (il y a peut-être une autre méthode mais je viens de trouver le résultat avec celle-ci).

Je trouve que les calculs sont inextricables avec l'argument, mais je m'y prends surement mal.

xn et yn jouent un rôle symétrique, donc si tu trouves une simplification pour l'une, elle fonctionnera pour l'autre

d'apres mon post précédent, non, xn et yn n'ont pas un role symétrique...

[invite9cf21bce]

Je trouve que les calculs sont inextricables avec l'argument, mais je m'y prends surement mal.

L'argument de u_n est facile à trouver, il suffit de faire un dessin. C'est après que ça se corse.

Pour te montrer que ça marche, voici la récurrence que je trouve :



où est l'argument dans de u₀

La difficulté est d'évaluer . Mais on y arrive.

[Gpadide]

L'argument de u_n est facile à trouver, il suffit de faire un dessin. C'est après que ça se corse.

Pour te montrer que ça marche, voici la récurrence que je trouve :



où est l'argument dans de u₀

La difficulté est d'évaluer . Mais on y arrive.

Moi je trouve directement l'expression de :



Confirmez vous ? Par contre apres je ne sais pas quoi faire. Je dirais que ca tend vers zero, mais vu la question ('limite en fonction de u0') ca ne doit pas etre ca.

Par ailleurs je suis toujours interessé par la methode qui consiste a etudier partie réelle et partie imaginaire. Pouvez vous m'en dire plus, car je bloque pour la partie réelle...

Merci d'avance pour toutes ces précisions.

[invite9cf21bce]

Moi je trouve directement l'expression de :



Confirmez vous ?

Oui oui... C'est la même chose



et



Ainsi :


On est amené à évaluer


ou encore



avec ma terminologie.

La seule astuce que j'aie trouvée, à ce stade, est de développer complètement ce produit. Il se passe un truc rigolo genre binaire.

Sinon, ce que je disais pour module et partie réelle, c'est que le module est décroissant (donc majoré) et la suite x est croissante, et majorée par le module (!), donc majorée, donc convergente.

Mais si tu as la convergence tu ne risques pas d'avoir la limite aussi facilement, vu que dans u_n+1=f(u_n), la fonction f admet une infinité de points fixes (tous les réels positifs).

J'ai bien peur que le calcul de la limite renvoie toujours à des produits de cos ou de sin. Sauf si on trouve une belle figure géométrique qui explique tout. À toi de voir.

Spoiler :

La limite est r sin a/a, où r=|u₀|