Un système linéaire sur R³

Bleyblue · 08/03/2007 - 12h56

Bonjour,

J'essaye de résoudre le système :

$\left\{ {x + y + z = 0 \\ \lambda x + \mu y + \nu z = 0} \\ \lambda ^2 x + \mu ^2 y + \nu ^2 z = 0 \\ \lambda ^3 x + \mu ^3 y + \nu ^3 z = 0 \right$

Donc j'écris ça sous forme matricielle :

$M = \left( \begin{array} 1 & 1 & 1 \\ \lambda & \mu & \nu \\ \lambda^2 & \mu^2 & \nu^2 \\ \lambda^3 & \mu^3 & \nu^3 \end{array} \right)$

et après avoir appliquer la méthode de Gauss je tombe sur :

$M = \left( \begin{array} 1 & 1 & 1 \\ 0 & \mu - \nu & \nu - \lambda \\ 0 & 0 & (\nu - \lambda)(\nu - \mu) \\ 0 & 0 & (\nu - \lambda)(\nu + \mu)(\nu - \mu - \lambda) \end{array} \right)$

Et la je dois discuter en fonction des paramètres mais je suis assez perplexe car il y en a beaucoup.

Si je commence par la dernière ligne, il faut que je prenne en considérations les 4 cas :

1) $\nu = \lambda$
2) $\nu = - \mu$
3) $\nu = \mu + \lambda$
4) nu différent de lambda différent de -mu différent de mu + lambda

C'est bien ça, ou je me trompe

?

merci

GuYem · 08/03/2007 - 13h16

Salut, la matrice M est une matrice de Vandermonde, un grand classique. Son determinant est $(\lambda- \mu)(\lambda-\nu)(\mu-\nu)$ , donc non nul ssi les lambda, mu et nu sont tous distincts.

Tu es, sans le voir, en train de faire l'interpolation par des polynomes de degré 3.

Bleyblue · 08/03/2007 - 14h06

Déterminant ? mais la matrice n'est même pas carrée ...

Sinon je n'ai pas pour habitude d'utiliser des déterminants dans mes résolutions de systèmes

merci

ericcc · 08/03/2007 - 14h41

Hmm Guyem, je suis aussi perplexe que Bleyblue : des déterminants rectangulaires ?
Ceci dit il y a 4 équations pour 3 inconnues. Donc la seule possibilité pour que l'on ait des solutions autre que (0,0,0) est que deux équations soient égales.

GuYem · 08/03/2007 - 14h50

Héhé, je sais même pas lire !

Bon, si elle était carrée, ce serait une vandermonde ! (na !)

Bleyblue · 08/03/2007 - 15h25

Bon, mais comment je fais moi

?
La discution dans laquelle je m'engage la me mènera à quelque chose ou pas (je n'ai qu'a essayé me direz vous masi bon ... ) ?

Envoyé par ericcc

Donc la seule possibilité pour que l'on ait des solutions autre que (0,0,0) est que deux équations soient égales.

D'accord, mais ça revientà discuter sur les valeurs de paramètres non ?

merci

Calvert · 08/03/2007 - 15h46

Salut!

Effectivement, ce système est "surdéterminé".
Il te faut trouver des paramètres de telle sorte que deux au moins des équations ci-dessus soient "colinéaires" (égales à un facteur multiplicatif près).

Dans les autres cas, ton système n'a que la solution triviale (0,0,0).

Une fois que tu as déterminer ces paramètres, tu pourras résoudre ton système de manière traditionelle (en fonction des paramèetres, s'il en reste).

Bleyblue · 10/03/2007 - 10h15

D'accord, en fait j'ai fait une petite erreur de calcul et le v + u qui apparaît dans la dernière ligne est en réalité un (v - u) ce qui fait qu'elle est redondante car multiple de la seconde, ce qui simplifie bien les choses et la discution qui s'ensuit est relativement simple