Equivalent d'une Intégrale en zero.

[Gpadide]

Bonjour, je cherche a trouver une équivalent de f en 0+, où :



J'ai déja vérifié qu'elle est bien définie et continue sur ]0,1[, j'espere que c'est le cas !

[Ksilver]

Salut !


ouai c'est exacte.


pour l'équivalent, je te proposerai d'essayer ceci (j'ai pas fait les calcules, donc je me trompe peut-etre, mais de tete sa a l'air de marcher...)


fait le changement de variable t -> 1/t

tu tombe sur une intégrale entre 0 et +inf de t^a/(t*(t+1)) ou un truc du genre. la on voit que la parti de l'intégral [1,+inf[ reste borné quand t->+inf (th de conv dominé par exemple), il te reste donc à étudier le comportement de l'intégral entre 0 et 1.


et la c'est assez simple, le 1/(t*(t+1)) tu le decompose en élement simple, tu as un terme en t^(a-1) que tu peut calculer : 1/a, et un autre terme, dont on doit pouvoir justifier simplement qu'il est borné quand a->0 (encore convergence dominé j'imagine ? )

et donc f serait équivalent a 1/a en zero.



au fait, c'est un exo qui viens d'ou ? c'est un sujet d'oral ?

[Gpadide]

Merci je vais essayer, mais n'y aurait il pas moyen d'utiliser un truc du genre intégration des relations de comparaison ?
Pour l'exo je pense que c'est un oral mais je sais pas lequel (il vient de mon prof).

[Ksilver]

non pas vraiment, les intégrations de relation de comparaison s'utilise plutot quand tu fait tendre une des bornes de l'intégrales vers une singularité de la fonction (ou vers +inf)

genre : recherche d'un equivalent de intégral de 0 a x de exp(t²) quand x->+infinit

pour des intégrales à bornes fixe on peut pas vraiment les utiliser... ( enfin sauf changement de variable permettant de ce ramener a des bornes mobile...)

[Gpadide]

J'ai essayé mais je bloque. Pour la décomposition en éléments simple j'ai un coefficient du genre :

De plus j'aimerais savoir comment t'est venue l'idée du changement de variable plus de séparer les intégrales: c'est une méthode générale ?

[Ksilver]

le changement de variable euh...un peu au pif en fait

disont que avec le t^a au dénominateur, et le faitque les bornes etait 0 et +inf, je me suis dit que au pire "sa compliquera pas les choses" alors autant regarder ce que ca donne ^^


apres coup, c'est vrai que en regardant sans rigeur, quand on regarde l'intégral, si on fait tendre a vers 0, on a l'intégral de 1/(t+1), qui diverge en +inf... donc la "parti principale" de l'intégral est plutot sur [1,+inf[... en faisant le changement de variable t->1/t on ramene [1,+inf[ sur [0,1], et c'est toujour plus facile d'étudiez une intégrale sur un segement que sur R+ ^^



sinon, je parlais du dévelopement en element simple de 1/(t(t+1)) seulement, le t^a tu y touche pas (faudrait a entier pour pouvoir le déveloper aussi ^^ )

donc tu sépare juste 1/(t(t+1) = (1/t)-1/(t+1)
tu as donc l'intégral de de t^(a-1) d'un coté, et celle de t^a/(t+1)

mais attention, tu n'as le droit de faire cette séparation que sur la parti entre 0 et 1 de l'intégral, su la parti [1,+inf[ ca serait faux car on obtiendrai deux intégral divergente... (mais comme je te l'ai dit, on commence par vérifier que la parti [1,+inf[ reste borné quand a->0...