Résolution d'une équation trigonométrique

[Bleyblue]

Bonjour,

Je considère l'équation : cot(x) + tan(3x) = 0

Je peux la réécrire cot(x) + tan(x + 2x) = 0 c'est à dire :



d'où en réduisant au même dénominateur :

(1 - tan(x)tan(2x))cot(x) + tan(x) + tan(2x) = 0

c'est à dire (1 + tan(x)²) = 0 ce qui n'est pas possible

Or l'équation de départ admet bien des solutions, prendre par exemple x = pi/4

J'ai donc fait une erreure de raisonnement (les calculs sont justes).

Voyez-vous où elle se situe ? Il me semble que lors de la réduction au même dénominateur je ne peux pas considérer que la fraction est nulle ssi le numérateur est nul mais je ne comprend pas bien pourquoi ...

merci
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[Bleyblue]

Oui en fait si f(x)/g(x) est nul ça n'implique pas forcément f(x) = 0, c'est idiot

Je n'y avait pas pensé

[invite124f1ad4]

Salut !
J'avoue ne pas comprendre d'où vient le problème en tout cas pour moi si f(x)/g(x)=0 ca implique que f(x)=0 ou bien en passant à la limite on peut considérer par exemple si f(x) est bornée et g(x) tend vers l'infini que f(x)/g(x) tend vers 0, mais dans ton cas je dirai que f(x)=0 seulement je ne vois pas d'ou vient le pb ....

[Bleyblue]

f(x) est bornée et g(x) tend vers l'infini que f(x)/g(x) tend vers 0, mais dans ton cas je dirai que f(x)=0 seulement je ne vois pas d'ou vient le pb ....

Ca doit être cela car le numérateur ne s'annule manifestement jamais (j'ai tracer le graphe avec un logiciel)

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebed001dd]

Bonjour

cot(x) + tan(3x)

= [cos(x)/sin(x)] + [sin(3x) / cos(3x)]

= [cos(x)*cos(3x) + sin(x)*sin(3x)] / [sin(x)*cos(3x)]

= cos(2x) / [sin(x)*cos(3x)]

donc
cot(x) + tan(3x) = 0

=> cos(2x) = 0

=> x = (pi/4) + k* pi k entier

a+

[Bleyblue]

merci bien, mais ce qui m'intéressait surtout c'est l'erreur commise dans le raisonnement du dessus

[invitebed001dd]

merci bien, mais ce qui m'intéressait surtout c'est l'erreur commise dans le raisonnement du dessus

bonjour

cot(x) + tan(3x) = 0

<=>

cos(2x) / [sin(x)*cos(3x)] = 0

et admet comme solutions x = (pi/4) + k* pi k entier

donc tan(2x) non définie par conséquent on ne peut utiliser le développement tan(x +2x) dans cette équation

a+

[inviteaaf827e0]

Bonjour je suis en terminale S et je ne me souviens plus comment résoudre des équations trigonométriques... Mon professeur nous a donné deux fiches, et par exemple je dois résoudre :
cos(2x) - sin (2x) = 1/racine de 2
ou sin (3x) = cos ((pi/4) -x)

J'ai fait des équations de ce type l'année dernière mais j'ai perdu mon cahier, vous pourriez me donner le début pour résoudre ces équations pour que la suite me revienne ? Merci d'avance

[invitec053041c]

Pour la première. Divise à gauche et à droite par .
Tu te retrouves avec qqchose de la forme:


c'est de la forme cos(b)cos(a)-sin(b)sin(a)=1
TU devrais t'en sortir

[invitec053041c]

Mmm quoique...
Enfin inspire-toi de ce que j'ai fait pour retrouver une forme connue.

[inviteaaf827e0]

lol je crois que ça marche mais c'est pas =1 mais plutôt =1/2 il me semble
En fait en divisant par racine de 2 j'obtiens :
√2/2 cos (2x) - √2/2 sin (2x) = 1/2
cos (pi/4) cos (2x) - sin (pi/4) sin (2x) = 1/2
cos (pi/4 + 2x) = 1/2
or 1/2 = cos (pi/3) (2pi) ou cos (-pi/3) (2pi)

donc il suffit de résoudre :
pi/4 + 2x = pi/3 ou pi/4 +2x = -pi/3
C'est bien ça ?

Sinon par exemple pour la deuxième il va falloir que je trouve quelque chose pour trouver une formule d'addition ou de duplication ?

[invitec053041c]

Non pour la seconde ramène toi à du cos(a)=cos(b) qui te donne une relation directe à un modulo Pi près entre a et b.
N'oublie pas que sin(x)=cos(x-Pi/2)

Comme tu l'as compris, pour ce genre d'équations, essaye de te ramener à une formule de duplication ou bien de manière directe à du cos(x)=cos(y) ou du sin(x)=sin(y)

[inviteaaf827e0]

rah le problème là c'est que je n'arrive pas à avoir un seul cosinus, en essayant de linéariser sin (3x)...
j'ai fait :

sin (3x) = sin (x+2x)
= sin (x) cos (2x) + sin (2x) cos (x)
= cos (x-pi/2) cos (2x) + 2 sin (x) cos (x) cos (x)
= cos (x-pi/2) cos (2x) + 2 cos²(x) cos (x-pi/2)

Et là je sais plus quoi faire (

[invitec053041c]

Hé t'embête pas autant.
tu as sin(3x)=cos(3x-Pi/2)
Qui est égal à un autre cos!

[Bleyblue]

bonjour

cot(x) + tan(3x) = 0

<=>

cos(2x) / [sin(x)*cos(3x)] = 0

et admet comme solutions x = (pi/4) + k* pi k entier

donc tan(2x) non définie par conséquent on ne peut utiliser le développement tan(x +2x) dans cette équation

a+

Ah oui ...

Mais c'est fou lorsqu'on ouvre un manuel de trigonométrie on voit qu'apparament le developpement de tan(x + y) est toujours valide or ici ce n'est pas le cas ...
Comme quoi il faut toujours faire attention
merci