résolution équation trigonométrique

[minacristal]

bonjour
j'aurais besoin d'aide pour une petite équation trigonométrique qui à première vue me semblait ultra simple et qui finalement ne l'est pas du tout!
3cos(x)+4sin(x)=2
si vous y arrivez vous me redriez un immense service puisque je pourrais enfin passer à autre chose dans mes devoirs pour la rentrée!

Minacristal

[rvz]

Salut

Effectivement, ça pourrait sembler complexe à résoudre. Et complexe est le mot, puisque si tu utilises les formules de Moivre, tu verras que exp(ix) vérifie une équation de degré 2, que donc tu sais résoudre.

Autre méthode : Si tu arrives à mettre ton équation sous la forme
cos(a)cos(x) + sin(a)sin(x) = b, c'est gagné !
Comment faire ça ? Poser cos(a) = 3/racine(3^2+4^2). Je te laisse deviner la suite.

__
rvz

[minacristal]

merci, j'ai utilisé une méthode pratiquement pareil à la tienne (vive internet et les sites de mathématiques des profs!)

j'ai pris acos(x)+bsin(y)=r.cos(x-phi)
avec r=racine (x^2+y^2) et tan(phi)=b/a
en remplaçant les lettres par les valeurs et ainsi de suite, j'ai fini par trouver le résultat.

j'ai essayé ta méthode qui marche aussi (pas celle avec les complexes, j'en ai trop "bouffé" pendant 2 semaines).
merci beaucoup

Mina Cristal

[mécano41]

Bonjour,

Pour résoudre :



on peut également faire :







dont les racines sont :



On peut également passer par tan(x/2)

Bon courage

[fritzlm]

Bonjour,

Pour résoudre :



on peut également faire :







dont les racines sont :



On peut également passer par tan(x/2)

Bon courage

Sauf que (cosx)^2+(sinx)^2=1 n'implique pas que cosx=racine(1-(sinx)^2). On peut être dans un cas où cosx<0

[hbenalia]

Bonjour

bonjour
j'aurais besoin d'aide pour une petite équation trigonométrique qui à première vue me semblait ultra simple et qui finalement ne l'est pas du tout!
3cos(x)+4sin(x)=2
si vous y arrivez vous me redriez un immense service puisque je pourrais enfin passer à autre chose dans mes devoirs pour la rentrée!

Minacristal

La meilleure façon pour résoudre cette équation c'est d'utiliser la relation suivante:
a , b étant différents de zéro
a cosx + b sinx = k cos(x - r)
avec : k = racine(a² + b²) et r est défini par: cos r = a/k et sin r = b/k

J'espère que mon raisonnement est bien clair.



Méthode:

3cos(x)+4sin(x)=2

divisons les deux membres par : racine(3² + 4²) i.e : 5

(3/5) cos x + (4/5) sin x = (2/5)

et puisque : (3/5)² + (4/5)² = 1 donc il existe un réel r (au moins) tel que : cos r = 3/5 , sin r = 4/5

donc l'équation s'écrit: cos r . cos x + sin r . sin x = (2/5)

or : cos r . cos x + sin r . sin x = cos (x - r) (formule de transformation)

alors on aura: cos (x - r) = 2/5

et on est ramené à une équation de la forme : COS X = L (qui est facile à résoudre)

Remarque : on peut aussi utiliser la relation : a cos x + b sin x = k sin (x + r ') avec : k = racine(a² + b²) et r ' défini par : cos r ' = b/k et sin r ' = a/k

Cordialement

[mécano41]

Sauf que (cosx)^2+(sinx)^2=1 n'implique pas que cosx=racine(1-(sinx)^2). On peut être dans un cas où cosx<0

Bonjour,

Suite à ta remarque, j'aimerais que tu m'aides, si possible, à démontrer quelque chose que je ne vois pas bien.

Ta remarque est juste, bien entendu, cependant, lorsque je poursuis le problème, le but final étant de trouver l'arc, je trouve néanmoins les deux seules racines x1 et x2 qui conviennent, les deux autres étant éliminées d'office (voir pièce jointe)

Comment doit-on interpréter le fait que ce sont toujours les équations faites à partir de sin1, cos1 et de sin2, cos2 qui ne sont pas vérifiées. Dans ces deux cas en calculant on trouve :



alors que dans les deux autres cas, on retombe bien sur c.

Merci d'avance

[rvz]

Salut Mecano,

Ta résolution marche bien parce que tu élèves au carré quand tu résous. Donc même si tu fais moralement une faute quand tu écris cos = racine(1-sin^2), dès que tu élèves au carré, il n'y a plus de fautes.

Néanmoins, en élevant au carré, tu fais une implication, pas une équivalence. Donc tu vas trouver deux sinus possibles différents, ce qui est parfaitement juste. Mais il est probable que tu obtiennes des solutions en trop (La pièce jointe est pas encore validée donc j'émets une simple hypothèse), car à chaque sinus correspond deux angles possibles. Donc tu obtiens 4 angles possibles.

Il faut ensuite en virer 2, mais cela ne doit pas poser problème en faisant des raisonnements élémentaires sur les signes des cosinus et sinus.

Néanmoins, je maintiens que les méthodes que j'avais proposées au début marchent bien, et ne nécessitent pas de discussion à posteriori. Toutes les autres méthodes de résolution propres que j'ai vu dans ce fil correspondent en fait à la deuxième méthode plus ou moins modifiée que j'avais suggérée. Au fait, personne ne commente la méthode avec les exponentielles complexes ? Vous avez tort, elle marche très bien...
__
rvz

[Ant_in_Space]

Salut RVZ,

Comme tu en parles, j'aimerais que tu développes dans ce cas le problème avec les exp et les formules de Moivre si possible. Celà me semble tout aussi intéressant.

[rvz]

Comme tu en parles, j'aimerais que tu développes dans ce cas le problème avec les exp et les formules de Moivre si possible. Celà me semble tout aussi intéressant.

Salut,

Bon ba puisqu'on me demande d'en parler, je vais le faire. En fait, cette méthode m'a été suggérée par la méthode que Bleyblue a utilisé il y a quelque temps pour retrouver que [TEX] Arcsin x = ln ( \sqrt{1+ x^2} + x ) [TEX].

Ici, tu as une équation du type
, avec a, b et c constantes.
Tu poses . Déterminer x ou u est tout à fait équivalent.
Tu écris maintenant l'équation précédente en fonction de u, ça te fait apparaître du u et du 1/u (pas de pb car u est de module 1 ! ), et tu multiplies par u pour avoir quelque chose de plus joli.
Tu obtiens

C'est un binôme de degré 2 (sauf si b+ia = 0, ce qui simplifie plutot la vie) à coefficients dans C. On peut le résoudre via les formules usuelles : Je n'ai pas dit que la forme générale était simple, mais bon, ça donne le résultat voulu, directement en fonction de a, b et c, et ça a le mérite de marcher aussi quand ces paramètres sont complexes.

Attention toutefois : Tu remarqueras que j'ai toujours au moins une solution, ce qui pourrait sembler bizarre. En fait, ça ne l'est pas, car le sinus et le cosinus sont définis sur C tout entier.

__
rvz

[Ant_in_Space]

Oui mais le problème c'est que j'ai :

23660*cos(teta)-1560*sin(teta)=-29171

Et je n'arrive pas à avoir de réponse car C est négatif.
il y a-t-il un autre moyen de résoudre dans R ?

Il me faut teta dans R.

++

Ant

[rvz]

Eh bien theta est dans R ssi u est de module 1.
Pour info, si tu préféres résoudre les choses dans R :
Tu supposes a, b, c rééls.
Tu poses v = a +ib, et X = u conjugué(v). Alors l'équation sur u se transforme en
, et les solutions de cette équation à coefficients réélles sont réélle ssi |v| < c, comme on s'y attendait au vu des autres méthodes.
De toute façon, avec la méthode que je t'ai proposée, tu seras obligé de passer par les nombres complexes, puisque ton inconnu u est un nombre complexe !

__
rvz

[Ant_in_Space]

Ok merci pour ces tuyaux.
A très bientôt,

Antoine