Propriétés de la fonction Zeta

[Gpadide]

Bonjour, je rappelle que celle ci est :



J'ai montré, en séparant les sommes, que cette fonction tend vers 1 en +infini. Merci de confirmer.
Par ailleurs j'aimerais en trouver un équivalent en 1+ mais je ne vois pas comment procéder.

En fait, ce genre de cas de figure m'arrive souvent:
je connais un équivalent en plus infini de la suite :



ou l'indice est N. Mais je ne sais pas dans ces cas la si on peut en déduire plus ou moins facilement (en séparant les sommes par exemple) un équivalent du type celui que je cherche. (On voit bien que ca se comporte pareil !)
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[invite479fe4f0]

SALUT , vous pouvez par exemple utiliser l'encadrement du reste de la suite f(n) tel que f est une fct décroissante

[invite4ef352d8]

pour ce cas la, le plus simple est d'introduire la fonction f:s->intégral de 1 a +inf de 1/x^s =1/(s-1)

et de former la diffrence
Zeta(s)-f(s) pour montrer qu'elle est borné au voisinage de 1. ainsi tu saura que zeta(s) ~1/(s-1) en 1.



pour ce que tu dit a propo d'utiliser la seri harmonique... et bien ou il y a tres souvant, et pour pas dire systématiqument un lien entre les deux, il y a beaucoup de théorème ("Taubérien") qui les relie d'allieur.

par exemple ici c'est flagrant quand la seri harmonique vaux assymptotiquement ln n + gamma +o(1) (gamma la cst d'euler) et Zeta vaut 1/(s-1)+gamma+o(1) !!

ceci ce prouve en utlisant un peu la meme methode que précedement (apres avoir prouve que Zeta(s)-f(s) etait borné au voisinage de 1, on peut montré qu'elle ce prolonge en une fonction continu en 1, et on peut exprimer cette valeur en 1 comme la limite de la seri harmonique-ln n ... bon il y a quelque permutation de limite à justifier mais c'est largement faisable en spé.

[invite4ef352d8]

quand je dis qu'il y a beaucoup de théorème, à chaque fois il s'applique à des cas tres particulier... il y a des th pour les serie en (an*x^n), apres il y a d'autre théorème pour des series en an/n^s etc etc...et a chaque fois les résultat sont un peu différent (mais l'idée de base est toujour la meme...) il n'y a aucun théorème qui s'applique à des series ayant une forme totalement quelconque !

[A voir en vidéo sur Futura]