[MP] Fonction zeta de Riemann

[Eric78]

Bonjour,

J'ai un blocage au début d'un exo... On note z(s)=somme de 1 à +oo de 1/n^s avec s>1. Cette fonction est à valeurs dans ]1,+oo[, et j'aimerais trouver la limite en 1+ (celle en +oo ne pose pas de problème grâce au théorème de la double limite). Je vois bien que ca va tendre vers +oo, mais j'arrive pas à le montrer...

Merci pour toutes indications!

Eric

[Quinto]

Bonjour,
en l'infini ca ne va pas te donner ce que tu attends.
Ensuite je pense que pour tout M, il existe e>0 tel que zeta(1+e)>M, on montre bien que la fonction tend vers l'infini en 1, non? (sauf erreur)
En fait je me demande si on ne peut pas utiliser une autre raisonnement plus simple.
Il me semble qu'une fonction décroissante sur ]1,oo], admet une limite en 1+, et notamment ici elle ne peut pas être finie (c'est vrai ou faux ca? je pense que c'est vrai).
La décroissance est facile à trouver, zeta est limite uniforme de la somme des 1/n^s, qui sont tous autant de fois dérivable qu'on le veut partout ailleurs que pour n=0.
la dérivée de s->1/n^s est s->-s/n^(s+1) qui est négatif pour s>1
Bref, je te donne des pistes, à toi de voir ce que tu en fas.

Pour conclure, comme je te l'ai dit, ta limite en l'infini ne peut pas être l'infini, on voit le voit de tête, et sinon on peut majorer zeta par une intégrale.
Sauf erreur.
A+

[Quinto]

Ok excuse moi, je pense avoir mal compris, tu as montré que la limite en l'infini était 1, et tu supposes que c'est celle en 1 qui est +oo.
Comme ca ca marche mieux, au temps pour moi.
Pour le reste, j'ai répondu.
A+

[Quinto]

Il y'a une autre possibilité, qui est simple:
Tu encadres zeta(s) à s fixé, par des intégrales.
Tu vas facilement obtenir un truc du genre:

1+1/(2^s(s-1))<zeta(s)<1+1/(s-1)

Ce qui montre clairement que s=1 est un pôle pour zeta.
Ce qui est beau, c'est que c'est la seule singularité de zeta si on prolonge la fonction à tout le plan complexe, et que cette singularité est un pôle.
Sauf erreur.
A+

[Eric78]

Il me semble qu'une fonction décroissante sur ]1,oo], admet une limite en 1+, et notamment ici elle ne peut pas être finie (c'est vrai ou faux ca? je pense que c'est vrai).
La décroissance est facile à trouver, zeta est limite uniforme de la somme des 1/n^s, qui sont tous autant de fois dérivable qu'on le veut partout ailleurs que pour n=0.
la dérivée de s->1/n^s est s->-s/n^(s+1) qui est négatif pour s>1

Qu'une fonction decroissante sur D admette une limite dans l'adhérence de D, ca c'est juste, mais je vois pas pourquoi la limite ne pourrait pas être finie... C'est ce que je veux montrer en fait

Sinon effectivement, on peut comparer la série à une intégrale (je tombe pas sur la même minoration que toi, mais ca marche quand même ), et montrer que z(s)->+oo en 1. Merci!