calcul approché de la solution d'une équa diff complexe (maple)

[Romain-des-Bois]

Bonjour à tous,

je vous expose mon problème :

j'ai une équation différentielle plutôt compliquée à résoudre.

Il y apparait pour résumer :
la dérivée seconde de f en facteur d'un truc monstrueux qui contient notamment la dérivée première au carré avec des puissances (-3/2), et du sinus de la fonction...

C'est très compliqué...

Mon prof de maths a dit qu'on ne pouvait pas la résoudre de manière exacte (en plus ça servirait à rien dans mon cas). Par contre, on peut obtenir une représentation graphique approchée de la solution grâce à maple.

J'ai tenté de la faire résoudre par maple, avec la fonction dsolve( [...] numeric), mais rien n'y fait. Il finit toujours par me répondre qu'il ne parvient pas à la mettre sous la forme d'une équation du premier ordre (la traduction est de moi).

Du coup, j'ai posé g=f'^2 (je me contenterai de la représentation de la vitesse au carré ), j'ai tout bien calculé, et j'arrive à une équation diff du premier ordre (g et g' apparaissent) avec tout plein de racines. Et là, pareil, il ne veut pas me la résoudre (même raison).

Dans un bouquin, où il y a soit disant tout maple, ils expliquent seulement comment résoudre des équa diffs de ce type, mais ils se contentent d'une équation du premier ordre avec du sinus(f(x)) (maple y arrive très bien, et ce n'est pas bien compliqué).

D'où ma requête : quelqu'un aurait-il une idée pour que j'obtienne enfin une représentation graphique approchée de la solution de mon équa diff ? Y a-t-il une fonction miracle de maple ?


merci de m'avoir lu, et de m'aider si vous le pouvez


Romain
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[invite4ef352d8]

si mes souvenir sont bon, pour que maple puisse la résoudre sans probleme il faut qu'elle soit "résolue" (c'est a dire qu'elle se mette sous la forme y'' = f(y,y'), ou y'''=f(y'',y',y) etc...) ton équation est-elle de cette forme la ? (tu devrait donner l'équation en fait...)

[Romain-des-Bois]

Je veux bien donner mon équation... mais je ne vais pas m'embêter à la taper en LaTeX

je fais un petit transfert d'un PC à un autre, et je la mets sous forme d'image


Romain

PS : merci

[Romain-des-Bois]

La voici... désolé pour le mal de tête

elle est bien résolue donc...



Romain


PS : petite devinette : de quel type de problème provient cette équa diff ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Romain-des-Bois]

j'ai trouvé quelques renseignements sur le net (pas trop sûrs donc).

Apparemment, maple ne sait résoudre numériquement que des équations d'ordre I donc, je peux laisser tomber de ce côté là...

Il y aurait une méthode (méthode d'Euler) qui permettrait de la résoudre de manière approchée. Vous pouvez m'en dire plus de ce côté là ?

Sinon, l'équation obtenue est certainement classique : c'est l'équation d'un pendule en relativité restreinte. La solution peut se trouver dans un bouquin... Là aussi, si quelqu'un peut m'aider

merci

Romain

[Nox]

Bonjour,

je dirai que la méthode d'euler se programme sans trop de problème avec une petite boucle for mais un truc me chifonne f ne dépend il que de t ?

Cordialement,

Nox

[Romain-des-Bois]

Bonsoir,

oui, f ne dépend que de t (en réalité f est l'angle que fait le pendule avec la verticale).

Je voudrais bien programmer la méthode d'Euler, mais il me faudrait une référence pour que je sache ce qu'il me faut faire

merci

Romain

[invite4ef352d8]

Salut !

essai de la ramener a une equation d'ordre 1 en posant,

x(t)=f(t)
y(t)=df(t)/dt

et tu as comme equation

dy/dt = un fonction de x et de y
dx/dt=y

peut-etre que maple sera plus aimable avec celle ci !

sinon porgramer la methode d'euler (Exel est tres adapté pour ca je trouve...) te donnera le résultat.

c'est tres simple ca consite en ca :

on choisit une valeur arbitraire de "dt" (plus c'est petit, plus le calcule sera precis, mais en faisant attention a ce que dt reste grand devant la precision du calculateur... si on calcule sur des réel entre 1 et 10^-10, il vaut mieux eviter de prendre dt en dessou de 10^-6 ou 10^-7 par exemple...)

a l'ordre 1, sa donne ca :

on connait f(0), on en déduit f'(0) par l'équation différentielle, et on prend f(dt)=f(0)+dt*f'(0).

et on recomence, on calcule f'(dt) et on en déduis f(2dt)=f(dt)+dt*f ' (dt)

etc etc... de proche en proche on calcule f(kdt)

a l'ordre deux c'est pareil, sauf qu'on doit connaitre f(u) et f'(u) pour calculer f''(u) puis en déduir f'(u+dt)=f'(u)+dtf''(u) et f(u+dt)=f(u)+dt*f'(u)+dt²*f''( u)/2

voila tu sais tous sur la methode d'euler ^^



sinon, quand a donner une solution explicite... peut-etre en terme de fonction Elliptique (comme le pendul classique) ce que je trouve personellement déja tres satisfaisant. mais je doute qu'il y ai une solution s'exprimant avec des fonctions usuelles...

[Romain-des-Bois]

Salut !

essai de la ramener a une equation d'ordre 1 en posant,

x(t)=f(t)
y(t)=df(t)/dt

et tu as comme equation

dy/dt = un fonction de x et de y
dx/dt=y

peut-etre que maple sera plus aimable avec celle ci !

J'ai essayé ce genre de choses, mais c'est pareil, il ne veut pas résoudre

sinon porgramer la methode d'euler (Exel est tres adapté pour ca je trouve...) te donnera le résultat.

c'est tres simple ca consite en ca :

on choisit une valeur arbitraire de "dt" (plus c'est petit, plus le calcule sera precis, mais en faisant attention a ce que dt reste grand devant la precision du calculateur... si on calcule sur des réel entre 1 et 10^-10, il vaut mieux eviter de prendre dt en dessou de 10^-6 ou 10^-7 par exemple...)

a l'ordre 1, sa donne ca :

on connait f(0), on en déduit f'(0) par l'équation différentielle, et on prend f(dt)=f(0)+dt*f'(0).

et on recomence, on calcule f'(dt) et on en déduis f(2dt)=f(dt)+dt*f ' (dt)

etc etc... de proche en proche on calcule f(kdt)

a l'ordre deux c'est pareil, sauf qu'on doit connaitre f(u) et f'(u) pour calculer f''(u) puis en déduir f'(u+dt)=f'(u)+dtf''(u) et f(u+dt)=f(u)+dt*f'(u)+dt²*f''( u)/2

voila tu sais tous sur la methode d'euler ^^

OK, je vais voir ça. Merci



Sur maple, il y a également un système de résolution approchée sous forme de polynôme... Malheureusement, le comportement à l'infini est complètement faux, et maple ne veut pas dépasser l'ordre 8, du coup, je n'ai même pas en entier la première oscillation Bon, ça donne déjà une idée !


Romain

[Romain-des-Bois]

Me revoilà !

Finallement, je vais appliquer la méthode de Runge Kutta... C'est le même principe qu'Euler, mais en un peu mieux pour l'ordre 2 Je devrais obtenir quelque chose de satisfaisant !

Je vous mettrai la représentation graphique de la solution quand j'aurai tout fini

Merci à tous ceux qui m'ont aidé


Romain

[Nox]

bonjour,

effectivement je pensais aussi à runge-kutta mais c'est un peu plus complexe qu'euler et programmer rapidement la méthode d'euler ne demandepas enormement de travail donc j'aurais fait euler en premier temps puis rk ensuite ...

cordialeemnt,

Nox

[Romain-des-Bois]

re-

j'ai essayé de programmer Runge Kutta, c'est plus compliqué qu'Euler, donc je me suis lancé dans Euler (histoire de voir à quoi ça ressemble)...

désespoir complet : le résultat que j'obtiens est vraiment mauvais je n'arrive pas à voir la moindre oscillation, même avec un pas très petit :

avec un pas de 0,01, travail avec 20décimales, j'ai une droite (quasiment) avec f(0)=1/3 et f(1,2) = 0, alors que la période théorique est de 1,2s , je n'ai pas mieux avec un pas de 10^-3)...

Je suis quitte pour RK mais si les résultats sont pas terribles non plus j'ai vu sur des exemples, et on peut pas dire que les résultats Euler et RK soient fondamentalement différents !




Romain

[Romain-des-Bois]

Dernière tentative avec un pas de 10^-5 C'est pas (beaucoup) mieux

Je crois qu'il va falloir se contenter de la résolution en séries de maple (au moins, on voit la première oscillation !)

[Nox]

Bonjour,

Les réslutats d'Euler et de rk sont souvent proches dans les exemples du fait que les exemples sont choisis quand les algorithes donnent des bons résultats et ils donnent donc la "bonne solution" ... (du moins c'est ce que je pense ...)
mais peut etre que dans ton cas si euler ne donne pas rk pourrait donner car rk est somme toute beaucoup plus puissant (stabilité et précision) qu'euler ...

Cordialement,

Nox