Bonjour, je voudrais savoir si, lorsqu'une suite de fonctions intégrables fn converge uniformément vers f, on peut écrire :
?
Je sais que c'est vrai sur un segment mais cela m'arrangerait que ca soit aussi vrai sur R+...Par exemple lorsque l'on a une série alternée et qu'on ne peut pas appliquer facilement convergence dominée ou intégration termes a termes.
Merci.
Bonjour !
non c'est faux.
converge uniforement signifie que la différence est majorer par une suite de réel qui tend vers 0. le probleme, c'est qu'un réel c'est pas intégrable sur R donc on peut rien en faire !
genre, imagine la fonction fn qui vaut 1/n sur 0...(n-1) et 0 sur le reste de R
fn converge uniformement vers 0, mais l'intégral de fn vaut 1 quelque soit n
Salut !Envoyé par Gpadide
Bonjour, je voudrais savoir si, lorsqu'une suite de fonctions intégrables fn converge uniformément vers f, on peut écrire :
C'est faux tel quel, même avec des fonctions positives...
Prends pour fn une fonction qui vaut 0 partout, sauf sur [0;n] où elle vaut 1/n (si tu veux que ça soit continu tu remplaces la marche d'escalier par un triangle isocèle).
Chaque fn est intégrable, d'intégrale 1 (1/2 dans le cas du triangle isocèle).
(fn) converge vers 0 uniformément sur R+.
Donne voir un exemple ! Lorsque ta série est alternée il n'y a en général pas trop de problèmes de domination en étudiant séparément les sommes partielles d'indices pairs et les sommes partielles d'indices impairs.
Taar.
EDIT : damned grillé par Ksilver à 30 secondes près
Bon ok je vous montre mon exemple parce que je m'en sors vraiment pas :
Ici, a_n est une suite strictement positive, croissante, et non majorée. Il parait qu'il est possible d'intervertir somme et intégrale mais je n'y arrive ni avec intégration termes a termes (a cause de la valeur absolue) ni a cause de la convergence dominée (je ne trouve pas de fonction dominante.
Je pensais utiliser la majoration du reste pour cette série alternée mais vous m'en empéchez ! (:
Salut !
il faut effectivement utilisez la majoration de reste... mais si tu regarde bien, cette majoration dépend de t ... et surtous elle est intégrable ^^
Euhh oui ca j'avais vu mais en quoi ca doit m'aider ? Le probleme c que je majore le reste, et pour la convergence dominée, il faut tout majorer !
je te te parle de calcule directe moi !
tu va majorer léecart entre la serie et la somme partielle par un terme en exp(-t*an) dont l'intégral sur [0,+inf[ vaut 1/an... donc l'intégral de l'ecart entre les deux tend vers 0.
tu peut remarquer que de la meme facon on a le theoreme suivant ;
si somme des fn est une serie alterné, alors sous réserve d'existence des deux termes on a :
somme des intégral de fn = intégral de somme des fn.
avec l'intégral prise sur un intervalle quelconque (borné ou non)
(cependant il est possible qu'un des membres existe et que l'autre non)
Apres avoir essayé le raisonnement par écrit je ne comprends pas: peux tu le rédiger stp ?
Car moi j'integre une différence : ok ca tend vers zero mais a un moment ya qd mm bel et bien une interversion somme/intégrale a faire, que je n'arrive pas a justifier par ton argument...
Ok.
on note Sn(t) la somme partielle, Rn(t) le reste, et f(t) la fonction.
f(t)=Sn(t)+Rn(t)
et |Rn(t)| < exp(-an*t)
Sn(t) est intégrable, d'intégral somme des (-1)^k/ak
et Rn(t) est intégrable car majorer par une fonction intégrable, d'intégral 1/an
fonc f(t) est inétegral et son intégral vaut somme des (-1)^k/a*k de k=1 a (n)+e
avec |e|<1/an
et apres tu fais tendre n vers l'infinit, la serie des (-1)^/an converge (serie alterné) et 1/an ->0, donc e->0 d'ou
intégral de f(t) = somme des (-1)^n/an
