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sens et utilité de l'équation différentielle

  1. #1
    hterrolle

    sens et utilité de l'équation différentielle

    Bonjour,

    J'asseye de comprendre les equations differentiel en tant qu'autodidacte (pas facile )

    Je me suis un peut reseigner et il me semble qu'il y ais plusieurs type d'equation differentiel. Donc dans un premier temps il me semble important de comprendre si la forme d'une equation differentiel est propre a un syteme (physique ,chimique, quantique) ou si sa forme est generale.

    merci

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    physeb

    Re : sens et utilité de l'equation differentiel

    Bonjour,

    une equation differentielle est une equation qui relie differents ordre de derivations d'une fonction. En physique, la premiere equa diff que l'on voit est typiquement celle qui caracterise le mouvement d'un objet. La fonction est la position x(t) et on relie cette derniere avec la vitesse et l'acceleration qui sont les derivees par rapport au temps de la position au premier ordre () et au second ordre ().

    De maniere plus generale, je dirais que pour la physique une tres grande partie des equations sont des equa diff.

  4. #3
    hterrolle

    Re : sens et utilité de l'equation differentiel

    merci,

    Je me suis donc attaqué au equa diff du premier ordre avec constante soit :

    f'(x) + a f(x) = b => f(x) = (f'(x) -b) / a => f(x) = e^(-ax) - (b/a)

    La premiere chose que j'ai faite c'est de manipuler c'est 3 fonctions.

    j'ai donc trouve que :

    e^(-ax) = f'(x) /a => f'(x) = a e^(-ax) => a = e^(ax) * 2x

    la je tourne en rond.

    j'ai donc utiliser des valeur et des fonction si f(x) = x² j'ai f'(x) = 2x donc :

    f'(x) + a f(x) = b => 2x + ax² = b => x² = e^(-ax) - (b/a)

    pourtant si je prends a=1 est que je pose sur ma calcullette cela ne me donne la bon resultat en negatif a partie de x = 6. Ensuite si je prends des valeur de a > 1. Cela ne colle plus du tout.

    j'ai du faire une erreur quelque part. est ce que quelqu'un aurait la gentillesse de m'aidé a la retrouver.

    merci d'avance.

  5. #4
    physeb

    Re : sens et utilité de l'equation differentiel

    En fait tu fais une erreur au debut de la resolution.

    Pour ce genre d'equation on fonctionne en deux etapes:

    -On cherche la solution dite homogene, c'est a dire la solution de l'equation

    -Puis on cherche une solution particuliere

    Le resultat est alors la somme des deux.

    Pour ton exemple on a donc:

    solution homogene:
    avec k une constante.

    Maintenant tu as la forme de la fonction qui te garantie pour tout x.

    Or nous voulons , mais si j'ajoute un terme constant a f, il n'apparaitra pas pour f' car la derivee d'une constante est nulle. Je cherche donc f sous la forme . J'injecte dans l'equa diff de depart et j'obtiens



    Et donc est la solution avec b/a qui est lq solution particuliere.

    maintenant si je reecris l'equa diff pour tout x.

  6. #5
    hterrolle

    Re : sens et utilité de l'equation differentiel

    re bonjour,

    M'amuser a faire se genre d'exercice n'est pas le plus gros probleme. Se que je n'arrive pas a comprendre c'est a quoi cela peut bien servir ? et comment s'en servir ?

  7. #6
    hterrolle

    Re : sens et utilité de l'equation differentiel

    excuse moi physeb,

    en fait l' equa diff a pour objectif de trouver une fonction. Mais pour trouver une fonction il faut quand même connaitre certaine information. dans le cas de lequa diff du premier ordre il faut connaitre au moins a et b.

    Donc la bonne question est: qu'est qua represente a et b ?

    merci de l'aide, c'est pas si simple que cela même si cela ne doit pas être bien compliqué

  8. #7
    Ledescat

    Re : sens et utilité de l'equation differentiel

    Comme tu l'as dit au début, les équa diff permettent de décrire des systèmes physiques/chimiques notemment.
    Par exemple, la seconde loi de Newton te dit que l'accélération d'un point de masse m multipliée par cette même masse est égale à la somme des forces appliquées au point en question.
    Pour un point soumis à la seule force d'un ressort sans frottements, la loi de Newton te donnera une équa diff du second ordre de la forme:

    Cette équation différentielle peut être facilement résolue avec les fonctions usuelles (cosinus, cosh...).

    L'équation différentielle qui régit le mouvement du pendule de longueur l est de la forme:

    Cette équation différentielle ne peut être résolue en revanche grâce aux fonctions usuelles, sauf si on fait l'approximation de sinx~x pour x petit.
    Dernière modification par Ledescat ; 29/05/2007 à 15h57.
    Cogito ergo sum.

  9. #8
    Ledescat

    Re : sens et utilité de l'equation differentiel

    Citation Envoyé par hterrolle Voir le message
    Donc la bonne question est: qu'est qua represente a et b ?

    merci de l'aide, c'est pas si simple que cela même si cela ne doit pas être bien compliqué
    Pour une résolution purement mathémétique, a et b seront donnés.
    En revanche, en physique, ce sont les lois de la physique (lois de newton,théorème du moment cinétique principe fondamental de la statique des fluides , lois de kirschhoff etc...) qui t'amèneront à trouver l'équation différentielle à résoudre.
    Cogito ergo sum.

  10. #9
    hterrolle

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    merci Ledescat,

    Donc si j'ai bien compris l'objectif de l'equation differentiel.

    Je prends l'example de quelqu'un qui fait des recherches. Il experimente est recuperer les resultat (ces données). il les represente sur un graph et il regarde si cela a une sens. si il veux ensuite trouver une regle ou une fonction capable de recreér le même graph. Il va donc utiliser l'equation differenciel pour trouver la fonction fonction qui representera le graph en fonction des variables de sont experience.

    Par contre il y a toujours un petit probleme qui me taquine. Dans la resolution d'une equa diff :

    f'(x) +af(x) = b => dy/dx = -ay + b => dy/dx = -a (y - (b/a))

    je continue

    (dy/dx)/(y-(b/a) = -a => dy/dx(y-(b/a) = -a

    ensuite il est dis que par integration on arrive a :

    ln(y-(b/a)) = -ax + C

    J'ai pas trop compris comment se fait l'integration puisque dy n'est pas sence être egale a 1 donc dy/(y-(b/a))dx ne devrait pas donnée lieu a ln (y-(b/a)) a moins de considerer que dy est egala a 1.

    suite a cette demonstration il y a encore une petite question sur l'equa diff. Cela reviens a transforme l'equaion en un calcul d'aire c'est donc presqu'un integrale.

    Voila en gros mais interrogation. j'espere n'avoir pas été trop confus.

  11. #10
    Ledescat

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    C'est plus en fonction des grandes lois de la physique (qui découlent d'observations) que l'on établit des équa diff.

    Sinon:


    On met un spaghetti à gauche et à droite , ce qui fait qu'on intègre à gauche en fonction de y, et à droite en fonction de x.


    .
    Sinon tu as tout à fait raison, une équation différentielle se ramène en fait bien souvent (pour ne pas dire toujours) à un calcul d'intégrale.C'est pourquoi les physiciens disent souvent "intégrer une équation différentielle" plutôt que "résoudre une équation différentielle" .
    Cogito ergo sum.

  12. #11
    hterrolle

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    merci Ledescat,

    il y a quand même quellque chose qui me choque (surement du a mon trop peut de connaissance des mathematiques).

    Ce qui me choque c'est que l'aqua diff soit representer par une aire. donc que la fonction, inconnu au depart est resolu par l'integration, ne nous informe que sur l'aire de la fonction. Et que cette aire peut être representer par des graph different. l'aire de de la fonction x sur l'intervale [0,1] est egale a l'aire de la fonction x/2 sur l'intervalle [0,2].

    Il doit me manquer un petit detail sur le sens est la signification des solutions d'une equa diff.

    J'espere ne pas être trop dans les choux.

  13. #12
    Ledescat

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    A vrai dire il ne faut pas trop se casser la tête sur ça.
    Disons que dans l'ordre, on a voulu résoudre des équa diff, et il s'est avéré que cela revenait presque toujours à une recherche de primitive, c'est-à-dire une fonction dont la dérivée donne ce que l'on a. Ni plus ni moins.

    Après, on a démontré qu'une primitive pouvait aussi servir à calculer une aire, mais le calcul d'aire et la résolution d'équa diff sont à priori deux applications différentes de l'intégration.

    Peut-être que ton problème principal, c'est la différence entre intégrale et primitive ?
    Cogito ergo sum.

  14. #13
    hterrolle

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    avrai dire je n'avais pas pensée qu'il puisse y avoir de difference entre integrale et primitive. C'est vrai que je vois la primitive comme une integrale.

    D'ailleurs je veux bien comprendre la difference qu'il peut y avoir entre integrale et primitive ?

    merci pour cette suggestion c'est peut être la clef qui me manque ?

    Je suis tout oüie )

  15. #14
    Ledescat

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    C'est vrai qu'on dit souvent l'un pour l'autre, mais bon c'est pas pareil .

    Lorsque tu as une fonction f, une primitive de f c'est une fonction F telle que F'=f.
    Par exemple une primitive de f(x)=x, il y a F(x)=1/2x²+3.

    En revanche, une intégrale c'est une AIRE, et on se sert d'une primitive pour calculer une intégrale.
    L'intégrale:
    .

    Ce qui porte souvent à confusion, c'est qu'on note souvent pour parler d'une primitive de f. Il ne faut donc pas confondre le spaghetti avec bornes (intégrale) et sans bornes (primitive).
    Cogito ergo sum.

  16. #15
    Gwyddon

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    Ceci dit, pour une fonction f donnée est la primitive de f qui s'annule en a : F(a)=0, F'=f

    Il y a donc quand même un lien
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  17. #16
    hterrolle

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    Merci pour votre aide,

    Mais a vrai dire je crois vraiment que il y a qu'elle que chose d'autre qui me bloque vraiment. Je crois que je suis predu avec les notation dy et dx surtout lorsque il faut juste travail avec ces outils sans valeur reélle.

    etant donnée que j'apprends seul avec des bouqins j'ai parfois du mal a suivrent le deroulement sequentiel du travail a effectuer.

    voila un example(j'en est malheureusement d'autre)

    integre dy/x et dire que c'est ln x.

    dans mes cours il y a l'integrale de 1/x dx = ln x hors pour l'exampe precedant comment determiner que dy = 1.

    un autre petit petit example :

    dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v (dv/dx) j'arrive a comprendre le sens de l'essemble :

    dv/dt = dx => vitesse diviser par temps = distance
    dv/dx = t => vitesse diviser par distance = temps
    dx/dt = v => distance diviser par temps = vitesse

    d'ou dv/dt = v dv/dx => x = vt

    par contre j'ai beaucoup de mal

    lorsque je voie des choses comme :

    (e^at (dy/dt)) + (a * e^at * y) qui donne (d/dt)(e^at * y)

    En fait je pense qu'il me faudrait soit un prof soit un bon livre qui n'hesite pas a detailler toutes les operations de derivation est d'integration.

    si vous avez des idées de bouquins vrraiment tres detailler pour arriver jusqu'au equa diff. je me ferait un plaisir de sortir les acheter.

    encore merci pour votre aide. Je ne suis pas un eleve mes un autodidacte qui rame grave avec toute ces notations.

  18. #17
    Ledescat

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    Mais j'ai jamais dit que dy=1 ! , je te remontre ma démonstration, avec une petite phrase d'explication entre les étapes.

    Tu en étais à:


    Tu multiplies à gauche et à droite par dx, ce qui te donne:



    On met un spaghetti à gauche et à droite:

    .
    Donc à gauche tu as bien une intégrale avec que des y et un dy, et à droite seulement un dx avec une constante (facile à intégrer).

    Et:
    avec la constante, mais si on met une constante C à droite, ça sert à rien qu'on en mette une à gauche (cst1-cst2=cst ).
    Convaincu que je n'ai jamais dit que dy=1 et quej'ai seulement calculé deux primitives, l'une en dx ,l'autre en dy ?

    Cogito ergo sum.

  19. #18
    Ledescat

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    Citation Envoyé par hterrolle Voir le message
    dv/dt = dx => vitesse diviser par temps = distance
    dv/dx = t => vitesse diviser par distance = temps
    dx/dt = v => distance diviser par temps = vitesse
    d'ou dv/dt = v dv/dx => x = vt
    T'inquiète pas, tu deviens pas fou.
    Ton erreur est dans la première ligne: dv/dt=x qui est faux.
    En effet, dv/dt=a (accélération) et non distance .
    Cogito ergo sum.

  20. #19
    hterrolle

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    merci Ledescat,

    j'ai vraiment beaucoup de mal a m'adapter a la notation de dx,dy,dv,dt et d?.

    je n'arrive pas a me representer a qoi cela correspont rééllement.

    example je j'ai trouvé :

    dv/dt = (dv/dx) (dx/dt) = v(dv/dx)

    (dx/dt) ont a bien v mais (dv/dx) c'est bien une vitesse/distance.

    il y a bien un truc qui me semble logique mais que je n'arrive pas a m'expliquer.

    (dv/dx) = (1/dt) mais ca donnerais (v/dt) et non pas (dv/dt).

    je crois que manipuler cette notation requiert des connaissance que je n'ais pas. Par contre j'aimerais bien savoir comment jouer avec ces concept.

  21. #20
    Ledescat

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    J'avoue que dv/dx ne m'inspire rien de particulier .Je te conseille d'éviter de regarder les exemples que tu cites, parceque leurs résultats sont plus que douteux et ne font qu'embrouiller (même moi).
    d(bidule) représente formellement la différentielle du bidule. Si tu préfères, cela correspont à une variation infinitésimale de (bidule).
    Pour ta culture,leur utilisation pour exprimer une dérivée s'appelle la notation de Leibniz.
    Avec cette notation, tu peux montrer de manière abusive (car ce sont des abus de notation, mais passons) la formule de la dérivée d'une composée.

    .

    Mais avant de t'attarder trop sur les notions de différentielle, essaye de bien maîtriser la dérivation, tous ses tenants et aboutissants.
    Cordialement.
    Cogito ergo sum.

  22. #21
    hterrolle

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    merci encore pour ton support,

    mais une fois de plus je comprends rien a cette notation. J'avoue que c'est un peut frustrant surtout que paour les matrice, les espaces vectoriel tout est rentré sans trop de probleme. par contre cette notation je n'arrive pas a mis faire.

    j'ai pas compris fog c'est quoi le "o" entre f et g. c'est la premiere fois que je voi cela ?

  23. #22
    Ledescat

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    C'est la règle de composition des fonctions. Curieux que tu aies pu passer à travers ça en étudiant les espaces vectoriels et les matrices: une multiplication de 2 matrices correspond à la composition des morphismes linéaires associés.
    (fog)(x)=f(g(x)) tout simplement .

    Le "o" ne se prononce pas "ho" () mais "rond".
    Cogito ergo sum.

  24. #23
    hterrolle

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    re,

    desolé d'être aussi long a comprendre mais je vais encore essaye.

    voila j'ai une fonction v = at donc f(x) = at et y =v
    je derive f(x) se qui donne f'(x)= a donc si f'(x) = dv/dt
    j'ai bien dv/dt = a

    maintenant j'integre f(x) = at se qui donne F(x) = a 1/2t² ou y = distance

    donc c'est la ou il me semble que je bloque.

    dx/dt² = (1/2)a et dx/dt = at

    si quelqu'un pouvait me manipuler tout cela l'hitoire de me faire une bonne idée se serait tres sympa.

    merci d'avance

  25. #24
    Ledescat

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle


    desolé d'être aussi long a comprendre mais je vais encore essaye.

    voila j'ai une fonction v = at donc f(x) = at et y =v
    je derive f(x) se qui donne f'(x)= a donc si f'(x) = dv/dt
    j'ai bien dv/dt = a

    maintenant j'integre f(x) = at se qui donne F(x) = a 1/2t² ou y = distance
    Jusque là je suis d'accord.

    dx/dt² = (1/2)a
    dx/dt² n'a pas de sens.Evite pour le moment de manipuler les d(bidule) à ta guise comme des nombres. Considère juste que c'est une notation pratique pour montrer par rapport à quoi on dérive.
    Ainsi:
    dx/dt=v
    d²x/dt²=a (comme x joue le rôle de fonction, on n'écrit pas dx², c'est la subtilité).
    Cogito ergo sum.

  26. #25
    hterrolle

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    merci encore,

    je crois que tu as mis le doitg sur mon probleme. c'est vrai que j'ai eu tendance a manipuler les d(bidules) comme des nombres.

    si je derive deux fois la distance (1/2at²) je retombe bien sur "a". se qui donne bien d²x/dt² = a.

    donc il y a bien une relation entre (d²x/dt²) et (dv/dt). En fait cette notation c'est un peu comme un code qui determine quelles action va devoir subir la fonction.

    donc pour essayer d'avancer j'ai :

    (dv/dt) = a donc (dv/dt).dt = adt et f'(x).dt = adt et dv = adt

    Je pense que si tu est d'accord je vais continuer demain. La nuit porte conseil.

    bon nuit a tous

  27. #26
    Ledescat

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    Citation Envoyé par hterrolle Voir le message
    En fait cette notation c'est un peu comme un code qui determine quelles action va devoir subir la fonction.
    Je crois que tu as saisi . Au début il faut avoir cette vision plutôt que de s'emmêler les pinceaux à les utiliser comme des nombres. Au mieux tu "passes" un dx de l'autre côté pour pouvoir intégrer (comme j'ai fait pour les equa diff), mais à par ça, prends ça comme une notation qui te dit: je vais dériver x par rapport au temps.
    D'ailleurs, pour te dire que c'est très souvent utilisé comme une notation pour la dérivée, on écrit souvent le d/dt excentré à gauche: , comme si ce d/dt n'était qu'un opérateur qui dit: dérive f .
    Sur ce, moi aussi je vais dormir! Bonne nuit .
    Dernière modification par Ledescat ; 31/05/2007 à 23h38.
    Cogito ergo sum.

  28. #27
    hterrolle

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    bonjour Ledescat,

    je crois que je commence a comprendre !

    en fait lorsque l'on a une fonction on peut la derive un peut comme on veux en fonctions des differente variable constituant la fonction. et "on integre lorsque l'on multipli par et on derive lorsque divise par"

    Example :

    f(x) = vt = x(distance) donc (dx/dt)=v et (dx/dv)=t
    f(v) = at = v(vitesse) donc (dv/dt)=a et (dv/da)=t

    maintenant j'integre f'(x) => f'(x).dt = (dx/dt).dt = vdt = f(x) et (dx/dv).dv = vdt = f(x)

    dans le premier cas j'ai la variation de temps et dans le second la variation de vitesse entre les bornes de l'integrale. Remarque que j'essaie d'utiliser toutes les notations (d? f() f'()) c'est ca qu'il me faut maitriser.

    Je crois comprendre se qui me genais. lorsque l'on a (dx/dt) tout seul il faut connaitre f(x) pour savoir a quoi est egale la fonction. De même pour (dv/dt) il faut savoir que c'est egale a l'acceleration. il est donc necessaire de connaitre par coeur certaine fonction principal de cinetique(au moins 4 notation de derive)

    maintenant c'est la bidouille. tentative d'application

    (dx/dv) = dt si je vais passer de "t" a "at" cale peut revenir a multiplier (dx/dv) par(dv/dt) ou de multipli(integre) (dv/dt) par dt. ou dt = (dx/dv)

    si qui peut donner at = (dv/dt) (dx/dv) = (dv/dt).dt

    example 2 :

    (dv/dt) = a = (dv/dx) (dx/dt) = v*(1/t) = (v/t) = a

    Je crois que cela commence a rentrer. En fait choisir la derivé peux s'averer tres utile pour simplifier certain calcul d'integral. Se qu'il faut c'est vraiment determiner dans quelle domaine on applique tout ceci.

  29. #28
    Calvert

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    Salut!

    Je pense qu'il te faut être extrémement prudent!

    Par exemple, il est vrai que la vitesse v est par définition:



    par contre, il est faut de dire que le temps t est égal à:

    . Cela est peut-être vrai dans le cas que tu regardes (où tu considères ta vitesse comme constante!).
    De manière générale,

    mais bien:



    et ça fait toute la différence!
    De la même manière, on a bien:



    mais sûrement pas
    .

  30. #29
    hterrolle

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    merci Calvert,

    c'est sympa de me montrer les limites du mecanisme.

    par contre je ne comprends pas quoi cela n'as pas de sens de dire (dv/da) = dt. En fait a l'instant dt si dv augmente da augmente aussi et la difference reste bien dt. si on represente cela sur un graph dt est egale a 1 pour une augmentation de 1 pour v donc de 1 pour a.

    M'enfin c'etait juste pour essayer de comprendre, Même si je doit passer par des aberrations.

    en tout cas c'est gentil de participer.

  31. #30
    Calvert

    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    Mais ce que tu écris au sujet de l'accélération n'est vrai que dans le cadre d'une accélération uniforme:



    Mais ce n'est en général pas le cas, car a peut également varier a cours du temps.

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