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sens et utilité de l'équation différentielle

  1. hterrolle

    Date d'inscription
    janvier 2004
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    sens et utilité de l'équation différentielle

    Bonjour,

    J'asseye de comprendre les equations differentiel en tant qu'autodidacte (pas facile )

    Je me suis un peut reseigner et il me semble qu'il y ais plusieurs type d'equation differentiel. Donc dans un premier temps il me semble important de comprendre si la forme d'une equation differentiel est propre a un syteme (physique ,chimique, quantique) ou si sa forme est generale.

    merci

    -----

     


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  2. physeb

    Date d'inscription
    mars 2005
    Localisation
    Gennevilliers
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    Re : sens et utilité de l'equation differentiel

    Bonjour,

    une equation differentielle est une equation qui relie differents ordre de derivations d'une fonction. En physique, la premiere equa diff que l'on voit est typiquement celle qui caracterise le mouvement d'un objet. La fonction est la position x(t) et on relie cette derniere avec la vitesse et l'acceleration qui sont les derivees par rapport au temps de la position au premier ordre () et au second ordre ().

    De maniere plus generale, je dirais que pour la physique une tres grande partie des equations sont des equa diff.
     

  3. hterrolle

    Date d'inscription
    janvier 2004
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    Re : sens et utilité de l'equation differentiel

    merci,

    Je me suis donc attaqué au equa diff du premier ordre avec constante soit :

    f'(x) + a f(x) = b => f(x) = (f'(x) -b) / a => f(x) = e^(-ax) - (b/a)

    La premiere chose que j'ai faite c'est de manipuler c'est 3 fonctions.

    j'ai donc trouve que :

    e^(-ax) = f'(x) /a => f'(x) = a e^(-ax) => a = e^(ax) * 2x

    la je tourne en rond.

    j'ai donc utiliser des valeur et des fonction si f(x) = x² j'ai f'(x) = 2x donc :

    f'(x) + a f(x) = b => 2x + ax² = b => x² = e^(-ax) - (b/a)

    pourtant si je prends a=1 est que je pose sur ma calcullette cela ne me donne la bon resultat en negatif a partie de x = 6. Ensuite si je prends des valeur de a > 1. Cela ne colle plus du tout.

    j'ai du faire une erreur quelque part. est ce que quelqu'un aurait la gentillesse de m'aidé a la retrouver.

    merci d'avance.
     

  4. physeb

    Date d'inscription
    mars 2005
    Localisation
    Gennevilliers
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    Re : sens et utilité de l'equation differentiel

    En fait tu fais une erreur au debut de la resolution.

    Pour ce genre d'equation on fonctionne en deux etapes:

    -On cherche la solution dite homogene, c'est a dire la solution de l'equation

    -Puis on cherche une solution particuliere

    Le resultat est alors la somme des deux.

    Pour ton exemple on a donc:

    solution homogene:
    avec k une constante.

    Maintenant tu as la forme de la fonction qui te garantie pour tout x.

    Or nous voulons , mais si j'ajoute un terme constant a f, il n'apparaitra pas pour f' car la derivee d'une constante est nulle. Je cherche donc f sous la forme . J'injecte dans l'equa diff de depart et j'obtiens



    Et donc est la solution avec b/a qui est lq solution particuliere.

    maintenant si je reecris l'equa diff pour tout x.
     

  5. hterrolle

    Date d'inscription
    janvier 2004
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    Re : sens et utilité de l'equation differentiel

    re bonjour,

    M'amuser a faire se genre d'exercice n'est pas le plus gros probleme. Se que je n'arrive pas a comprendre c'est a quoi cela peut bien servir ? et comment s'en servir ?
     


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  6. hterrolle

    Date d'inscription
    janvier 2004
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    Re : sens et utilité de l'equation differentiel

    excuse moi physeb,

    en fait l' equa diff a pour objectif de trouver une fonction. Mais pour trouver une fonction il faut quand même connaitre certaine information. dans le cas de lequa diff du premier ordre il faut connaitre au moins a et b.

    Donc la bonne question est: qu'est qua represente a et b ?

    merci de l'aide, c'est pas si simple que cela même si cela ne doit pas être bien compliqué
     

  7. Ledescat

    Date d'inscription
    janvier 2007
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    Re : sens et utilité de l'equation differentiel

    Comme tu l'as dit au début, les équa diff permettent de décrire des systèmes physiques/chimiques notemment.
    Par exemple, la seconde loi de Newton te dit que l'accélération d'un point de masse m multipliée par cette même masse est égale à la somme des forces appliquées au point en question.
    Pour un point soumis à la seule force d'un ressort sans frottements, la loi de Newton te donnera une équa diff du second ordre de la forme:

    Cette équation différentielle peut être facilement résolue avec les fonctions usuelles (cosinus, cosh...).

    L'équation différentielle qui régit le mouvement du pendule de longueur l est de la forme:

    Cette équation différentielle ne peut être résolue en revanche grâce aux fonctions usuelles, sauf si on fait l'approximation de sinx~x pour x petit.
    Dernière modification par Ledescat ; 29/05/2007 à 16h57.
    Cogito ergo sum.
     

  8. Ledescat

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    janvier 2007
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    Re : sens et utilité de l'equation differentiel

    Citation Envoyé par hterrolle Voir le message
    Donc la bonne question est: qu'est qua represente a et b ?

    merci de l'aide, c'est pas si simple que cela même si cela ne doit pas être bien compliqué
    Pour une résolution purement mathémétique, a et b seront donnés.
    En revanche, en physique, ce sont les lois de la physique (lois de newton,théorème du moment cinétique principe fondamental de la statique des fluides , lois de kirschhoff etc...) qui t'amèneront à trouver l'équation différentielle à résoudre.
    Cogito ergo sum.
     

  9. hterrolle

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    janvier 2004
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    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    merci Ledescat,

    Donc si j'ai bien compris l'objectif de l'equation differentiel.

    Je prends l'example de quelqu'un qui fait des recherches. Il experimente est recuperer les resultat (ces données). il les represente sur un graph et il regarde si cela a une sens. si il veux ensuite trouver une regle ou une fonction capable de recreér le même graph. Il va donc utiliser l'equation differenciel pour trouver la fonction fonction qui representera le graph en fonction des variables de sont experience.

    Par contre il y a toujours un petit probleme qui me taquine. Dans la resolution d'une equa diff :

    f'(x) +af(x) = b => dy/dx = -ay + b => dy/dx = -a (y - (b/a))

    je continue

    (dy/dx)/(y-(b/a) = -a => dy/dx(y-(b/a) = -a

    ensuite il est dis que par integration on arrive a :

    ln(y-(b/a)) = -ax + C

    J'ai pas trop compris comment se fait l'integration puisque dy n'est pas sence être egale a 1 donc dy/(y-(b/a))dx ne devrait pas donnée lieu a ln (y-(b/a)) a moins de considerer que dy est egala a 1.

    suite a cette demonstration il y a encore une petite question sur l'equa diff. Cela reviens a transforme l'equaion en un calcul d'aire c'est donc presqu'un integrale.

    Voila en gros mais interrogation. j'espere n'avoir pas été trop confus.
     

  10. Ledescat

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    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    C'est plus en fonction des grandes lois de la physique (qui découlent d'observations) que l'on établit des équa diff.

    Sinon:


    On met un spaghetti à gauche et à droite , ce qui fait qu'on intègre à gauche en fonction de y, et à droite en fonction de x.


    .
    Sinon tu as tout à fait raison, une équation différentielle se ramène en fait bien souvent (pour ne pas dire toujours) à un calcul d'intégrale.C'est pourquoi les physiciens disent souvent "intégrer une équation différentielle" plutôt que "résoudre une équation différentielle" .
    Cogito ergo sum.
     

  11. hterrolle

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    janvier 2004
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    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    merci Ledescat,

    il y a quand même quellque chose qui me choque (surement du a mon trop peut de connaissance des mathematiques).

    Ce qui me choque c'est que l'aqua diff soit representer par une aire. donc que la fonction, inconnu au depart est resolu par l'integration, ne nous informe que sur l'aire de la fonction. Et que cette aire peut être representer par des graph different. l'aire de de la fonction x sur l'intervale [0,1] est egale a l'aire de la fonction x/2 sur l'intervalle [0,2].

    Il doit me manquer un petit detail sur le sens est la signification des solutions d'une equa diff.

    J'espere ne pas être trop dans les choux.
     

  12. Ledescat

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    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    A vrai dire il ne faut pas trop se casser la tête sur ça.
    Disons que dans l'ordre, on a voulu résoudre des équa diff, et il s'est avéré que cela revenait presque toujours à une recherche de primitive, c'est-à-dire une fonction dont la dérivée donne ce que l'on a. Ni plus ni moins.

    Après, on a démontré qu'une primitive pouvait aussi servir à calculer une aire, mais le calcul d'aire et la résolution d'équa diff sont à priori deux applications différentes de l'intégration.

    Peut-être que ton problème principal, c'est la différence entre intégrale et primitive ?
    Cogito ergo sum.
     

  13. hterrolle

    Date d'inscription
    janvier 2004
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    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    avrai dire je n'avais pas pensée qu'il puisse y avoir de difference entre integrale et primitive. C'est vrai que je vois la primitive comme une integrale.

    D'ailleurs je veux bien comprendre la difference qu'il peut y avoir entre integrale et primitive ?

    merci pour cette suggestion c'est peut être la clef qui me manque ?

    Je suis tout oüie )
     

  14. Ledescat

    Date d'inscription
    janvier 2007
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    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    C'est vrai qu'on dit souvent l'un pour l'autre, mais bon c'est pas pareil .

    Lorsque tu as une fonction f, une primitive de f c'est une fonction F telle que F'=f.
    Par exemple une primitive de f(x)=x, il y a F(x)=1/2x²+3.

    En revanche, une intégrale c'est une AIRE, et on se sert d'une primitive pour calculer une intégrale.
    L'intégrale:
    .

    Ce qui porte souvent à confusion, c'est qu'on note souvent pour parler d'une primitive de f. Il ne faut donc pas confondre le spaghetti avec bornes (intégrale) et sans bornes (primitive).
    Cogito ergo sum.
     

  15. Gwyddon

    Date d'inscription
    octobre 2004
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    Re : sens et utilité de l'équation différentielle

    Ceci dit, pour une fonction f donnée est la primitive de f qui s'annule en a : F(a)=0, F'=f

    Il y a donc quand même un lien
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.
     


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