Dérivée d'une intégrale bornée par une fonction

Hash · 05/07/2007 - 16h41

Bonjour à tous,

Maple me donne le résultat suivant :

$ \frac{d}{d u} \left( \int_{f(u)}^{\infty} e^{-j t^2} d t \right) =- \left( \frac{d f}{d u} \right) e^{-j (f(u))^2} $

Mais je ne sais pas le prouver.

Comment calculer la dérivée d'une intégrale dont seule les bornes dépendent de la variable de dérivation ?

Merci d'avance pour votre aide

Ledescat · 05/07/2007 - 16h58

J'ai une petite idée, mais j'ai peur que ça ne soit pas très rigoureux (quant à l'infini), quoique.
Mais bon, je me lance:
Si on note F la primitive de exp(-jt²) et c la limite de F en l'infini, tu dois faire:
$\frac{d}{du} [ c-F(f(u)) ]= -(\frac{d}{du}f).F'(f(u))= -(\frac{d}{du}f).exp{-j.f^2(u)}$

Avec F' dérivée de F par rapport à v.C'est juste une dérivée composée

.

JBBond · 05/07/2007 - 18h16

Bonjour,
J'ai un probleme avec la borne infini, mais sinon je pense que la formule de Leibnitz pourrait t'aider. tu peux essayer avec on verra.
C'est celle qui fait la derivée d'une intégrale dépendant d'un parametre.
si tu ne l'as pas je te la donne
voyons voir

homotopie · 05/07/2007 - 21h04

Envoyé par Ledescat

J'ai une petite idée, mais j'ai peur que ça ne soit pas très rigoureux (quant à l'infini), quoique.
Mais bon, je me lance:
Si on note F la primitive de exp(-jt²) et c la limite de F en l'infini, tu dois faire:
$\frac{d}{du} [ c-F(f(u)) ]= -(\frac{d}{du}f).F'(f(u))= -(\frac{d}{du}f).exp{-j.f^2(u)}$

Avec F' dérivée de F par rapport à v.C'est juste une dérivée composée

.

Si la borne infinie te gêne : vire là.

Plus sérieusement, X étant une constante
$\int_{f(u)}^{+\infty}truc=\int _{f(u)}^{X}truc+\int_{X}^{+ \infty}truc=\int_{f(u)}^{X}tru c+constante$